Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{2 x^{2} + 9}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 7

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Étape 9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Étape 11

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.2

Multipliez $8$ par $8^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.1

Multipliez $8$ par $8^{3}$ .

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Étape 13.1.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1} \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1 + 3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{4} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.3

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.5

Additionnez $4096$ et $4096$ .

$\frac{\sqrt{8192 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.6

Soustrayez $9$ de $8192$ .

$\frac{\sqrt{8183}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.7

Réécrivez $8183$ comme $7^{2} \cdot 167$ .

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Étape 13.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $8183$ .

$\frac{\sqrt{49 (167)}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 64 + 9}$

Étape 13.2.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{128 + 9}$

Étape 13.2.3

Additionnez $128$ et $9$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Forme décimale :

$0.66029150 \dots$