Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} - \frac{1}{\ln (x - 8)}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x - 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{\ln (x - 8)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 9) \ln (x - 8)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x - 9}$ par $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)} - \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{\ln (x - 8)}$ par $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)} - \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 9) \ln (x - 8)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8) (x - 9)} - \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8) - (x - 9)}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) - (x - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.2

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite de $\ln (x - 8) - (x - 9)$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{\ln (9 - 8) - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{\ln (1) - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.2.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.2.2.3

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 2.1.3.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 2.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 2.1.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Étape 2.1.3.8.2

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Étape 2.1.3.8.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Étape 2.1.3.8.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 9)}$

Étape 2.1.3.8.5

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9} \frac{\ln (x - 8) - (x - 9)}{\ln (x - 8) (x - 9)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) - (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) - (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x - 8) - (x - 9)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 8$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $\frac{1}{x - 8}$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} + \frac{d}{d x} [- (x - 9)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x - 9)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x - 9)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x - 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - \frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.4.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.5

Associez des termes.

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Étape 2.3.5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} - 1 \cdot \frac{x - 8}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.5.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{x - 8} + \frac{- (x - 8)}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x - 8)$ et $g (x) = x - 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 9] + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 2.3.11

Multipliez $\ln (x - 8)$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 2.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 8$ .

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Étape 2.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Étape 2.3.12.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Étape 2.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Étape 2.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Étape 2.3.15

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + 0)}$

Étape 2.3.16

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} \cdot 1}$

Étape 2.3.17

Multipliez $x - 9$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8}}$

Étape 2.3.18

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1 - (x - 8)}{x - 8}$ par $\frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) ((x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Étape 2.6

Multipliez $x - 9$ par $\frac{1}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Étape 2.7

Associez des termes.

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Étape 2.7.1

Pour écrire $\ln (x - 8)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \frac{\ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8})}$

Étape 2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{(x - 8) \frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}}$

Étape 3

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 3.1

Multipliez $x - 8$ par $\frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Étape 3.2.2

Divisez $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} 1 - (x - 8)}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.2

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite de $1 - (x - 8)$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{1 - (9 - 8)}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Étape 4.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Étape 4.1.3.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Étape 4.1.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Étape 4.1.3.6

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Étape 4.1.3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Étape 4.1.3.8

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.9

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.3.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.10.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.10.1.3

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.10.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Étape 4.1.3.10.1.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 8)}$

Étape 4.1.3.10.1.6

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot 1}$

Étape 4.1.3.10.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0}$

Étape 4.1.3.10.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 4.1.3.10.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.10.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 9} \frac{1 - (x - 8)}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - (x - 8)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x - 8)]$ .

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Étape 4.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x - 8)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.4.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.8

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Étape 4.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

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Étape 4.3.9.1

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 4.3.9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 4.3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 4.3.9.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Étape 4.3.9.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 8$ .

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Étape 4.3.9.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Étape 4.3.9.5.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Étape 4.3.9.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Étape 4.3.9.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Étape 4.3.9.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Étape 4.3.9.8

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Étape 4.3.9.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Étape 4.3.9.10

Multipliez $\ln (x - 8)$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Étape 4.3.9.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \cdot 1)}$

Étape 4.3.9.12

Multipliez $\frac{1}{x - 8}$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Étape 4.3.10

Simplifiez

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Étape 4.3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Étape 4.3.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Étape 4.3.10.3

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 4.3.10.3.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Étape 4.3.10.3.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{1 + 1 + \ln (x - 8)}$

Étape 4.3.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- 1}{2 + \ln (x - 8)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} - 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 9} 2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{- 1}{2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Étape 5.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8)}$

Étape 5.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Étape 5.7

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (9 - 1 \cdot 8)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (9 - 8)}$

Étape 7.1.2

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{- 1}{2 + \ln (1)}$

Étape 7.1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Étape 7.1.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$