Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Étape 1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (3 x))}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 3 x))}$

Étape 1.3.1.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 lim_{x \to 0} x))}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (3 \cdot 0))}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 3.5.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{\cos (3 x)}$ et $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- 3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10

Associez $- 3$ et $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{- 3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot 1}$

Étape 3.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)})$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (3 \sin (3 x))}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 7.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.2.6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.6.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.6.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.2.6.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 7.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 7.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 7.1.3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 7.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.3.6.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 7.1.3.6.2

Multipliez $\sin (3 \cdot 0)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

Étape 7.1.3.6.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 7.1.3.6.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 7.1.3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 7.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 7.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 7.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

Étape 7.3.10

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.11

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 7.3.11.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.11.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.11.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.14

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.15

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cdot \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 7.3.16

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Étape 7.3.17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.11

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.13

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.14

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.16

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.17

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

Étape 8.18

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

Étape 8.19

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

Étape 8.20

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

Étape 8.21

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.8

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.7

Multipliez $\cos (3 \cdot 0)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.8

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.1.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 10.2.8

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (0)}$

Étape 10.2.9

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot 0}$

Étape 10.2.10

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0}$

Étape 10.2.11

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 10.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9}$