Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 0} x - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{6 \cdot 0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - \tan (6 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (6 x)}$

Étape 1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 1.3.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to 0} x - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Étape 1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.6.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (6 \cdot 0)}$

Étape 1.3.6.1.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Étape 1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Étape 1.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x - \sin (6 x)}{6 x - \tan (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - \sin (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (6 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (6 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (\cos (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.6

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 \cos (6 x))}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.4.7

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x - \tan (6 x)]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - \tan (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Étape 3.6.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 + \frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (6 x)]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (6 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}$

Étape 3.7.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Étape 3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}$

Étape 3.7.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1))}$

Étape 3.7.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (\sec^{2} (6 x) \cdot 6)}$

Étape 3.7.6

Déplacez $6$ à gauche de $\sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - (6 \sec^{2} (6 x))}$

Étape 3.7.7

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $6 - 6 \cos (6 x)$ et $6 - 6 \sec^{2} (6 x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) - 6 \cos (6 x)}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Étape 4.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1) + 6 (- \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Étape 4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (1) + 6 (- \cos (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Étape 4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 - 6 \sec^{2} (6 x)}$

Étape 4.4.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sec^{2} (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 \cdot 1 + 6 (- \sec^{2} (6 x))}$

Étape 4.4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (1) + 6 (- \sec^{2} (6 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (1 - \cos (6 x))}{6 (1 - \sec^{2} (6 x))}$

Étape 4.4.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.1.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (6 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.3.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (6 x)}$

Étape 5.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (6 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (6 x))}^{2}}$

Étape 5.1.3.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 5.1.3.1.5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (6 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.3.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) + 1}$

Étape 5.1.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (6 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0)) + 1}$

Étape 5.1.3.3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.1.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (6 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (6 \cdot 0) - 1)}$

Étape 5.1.3.3.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{0}{- \tan^{2} (6 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3.3.6

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Étape 5.1.3.3.7

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Étape 5.1.3.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Étape 5.1.3.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{1 - \sec^{2} (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (6 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (6 x) \cdot 6)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 6 \sin (6 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.4.7

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.5

Additionnez $0$ et $6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sec^{2} (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (6 x)]$ .

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Étape 5.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (6 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x)]}$

Étape 5.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (6 x)$ .

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Étape 5.3.8.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Étape 5.3.8.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Étape 5.3.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) \frac{d}{d x} [\sec (6 x)])}$

Étape 5.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 5.3.8.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Étape 5.3.8.3.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Étape 5.3.8.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]))}$

Étape 5.3.8.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])))}$

Étape 5.3.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)))}$

Étape 5.3.8.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6))}$

Étape 5.3.8.7

Déplacez $6$ à gauche de $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (2 \sec (6 x) (6 \cdot (\sec (6 x) \tan (6 x))))}$

Étape 5.3.8.8

Multipliez $6$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec (6 x) (\sec (6 x) \tan (6 x)))}$

Étape 5.3.8.9

Élevez $\sec (6 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec (6 x)) \tan (6 x))}$

Étape 5.3.8.10

Élevez $\sec (6 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 (\sec^{1} (6 x) \sec^{1} (6 x)) \tan (6 x))}$

Étape 5.3.8.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 {\sec (6 x)}^{1 + 1} \tan (6 x))}$

Étape 5.3.8.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - (12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x))}$

Étape 5.3.8.13

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{0 - 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9

Simplifiez

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Étape 5.3.9.1

Soustrayez $12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \sec^{2} (6 x) \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9.2

Réécrivez $\sec (6 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 {(\frac{1}{\cos (6 x)})}^{2} \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- 12 \frac{1}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9.5

Associez $- 12$ et $\frac{1}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{\frac{- 12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \tan (6 x)}$

Étape 5.3.9.7

Réécrivez $\tan (6 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}$

Étape 5.3.9.8

Multipliez $- \frac{12}{\cos^{2} (6 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

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Étape 5.3.9.8.1

Multipliez $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ par $\frac{12}{\cos^{2} (6 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Étape 5.3.9.8.2

Multipliez $\cos (6 x)$ par $\cos^{2} (6 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.9.8.2.1

Multipliez $\cos (6 x)$ par $\cos^{2} (6 x)$ .

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Étape 5.3.9.8.2.1.1

Élevez $\cos (6 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{1} (6 x) \cos^{2} (6 x)}}$

Étape 5.3.9.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{{\cos (6 x)}^{1 + 2}}}$

Étape 5.3.9.8.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{\sin (6 x) \cdot 12}{\cos^{3} (6 x)}}$

Étape 5.3.9.9

Déplacez $12$ à gauche de $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (6 x)}{- \frac{12 \sin (6 x)}{\cos^{3} (6 x)}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) (- \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)})$

Étape 5.5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) \frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Étape 5.5.2

Associez $\frac{\cos^{3} (6 x)}{12 \sin (6 x)}$ et $- 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)} \sin (6 x)$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6}{12 \sin (6 x)}$ et $\sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)}{12 \sin (6 x)}$

Étape 5.6

Réduisez.

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Étape 5.6.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $12$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $6$ à partir de $\cos^{3} (6 x) \cdot - 6 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{12 \sin (6 x)}$

Étape 5.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12 \sin (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Étape 5.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x))}{6 (2 \sin (6 x))}$

Étape 5.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun de $\sin (6 x)$ .

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1 \sin (6 x)}{2 \sin (6 x)}$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (6 x) \cdot - 1}{2}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x) \cdot - 1$

Étape 6.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (6 x)$

Étape 6.3

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (6 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (6 x))}^{3}$

Étape 6.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 6 x)$

Étape 6.5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 lim_{x \to 0} x)$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (6 \cdot 0)$

Étape 8.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Étape 8.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Étape 8.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 8.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$