Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 8} \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Étape 7

Remplacez $\frac{1}{x}$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $\frac{1}{8}$ car $lim_{x \to 8} \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Étape 8.3

Évaluez $\arctan (\frac{1}{8})$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499}{\frac{1}{x}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{64} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $0.12435499$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998) x$

Étape 9.3

Pour écrire $0.24870998$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998 \cdot \frac{64}{64}) x$

Étape 9.4

Associez $0.24870998$ et $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + \frac{0.24870998 \cdot 64}{64}) x$

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 0.24870998 \cdot 64}{64} x$

Étape 9.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.1

Multipliez $0.24870998$ par $64$ .

$\frac{1 + 15.9174393}{64} x$

Étape 9.6.2

Additionnez $1$ et $15.9174393$ .

$\frac{16.9174393}{64} x$

Étape 9.7

Divisez $16.9174393$ par $64$ .

$0.26433498 x$