Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $\frac{1}{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.2.3.4

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{3}}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $\frac{π}{3}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{\frac{π - π}{3}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{3}}$

Étape 1.3.3.3

Divisez $0$ par $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{3}} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

Étape 3.4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

Étape 3.5

Additionnez $- \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}$

Étape 3.8

Comme $- \frac{π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{1 + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez $- \sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} - \sin (x)$

Étape 4.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

Étape 4.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$- \sin (\frac{π}{3})$

Étape 6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.86602540 \dots$