Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (x)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0}}{\cos (0)}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Séparez les fractions.

$\frac{e^{0}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 8.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$\frac{e^{0}}{1} \sec (0)$

Étape 8.3

Divisez $e^{0}$ par $1$ .

$e^{0} \sec (0)$

Étape 8.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 \sec (0)$

Étape 8.5

Multipliez $\sec (0)$ par $1$ .

$\sec (0)$

Étape 8.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$