Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ comme $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ en déplaçant $\frac{1}{x^{2}}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0^{2}}}$

Étape 3.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.4

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{2 x}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

Étape 5.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

Étape 5.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 5.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}}$

Étape 5.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}}$

Étape 5.1.3.4.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

Étape 5.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 5.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}}$

Étape 5.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- x \sin (x) + \cos (x)}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

Étape 6.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

Étape 6.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

Étape 6.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}}$

Étape 8.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

Étape 8.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Étape 8.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{1}{2} \cdot 1}$

Étape 8.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 8.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$