Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\sin (x)}^{x}$ comme $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sin (x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $e^{x \ln (\sin (x))}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Étape 3.3

Comme $e^{0 \ln (0)}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Étape 5.2

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \ln (\sin (x))$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Étape 5.3

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $x \ln (\sin (x))$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0$ .

$e^{0}$

Étape 5.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$