Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{8 x^{4}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.7.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.2.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{8 {(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0^{4}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{8 x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.5.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.5.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.5.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $- \sin (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Étape 3.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{4}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{8 \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{8 (4 x^{3})}$

Étape 3.9

Multipliez $4$ par $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{32 x^{3}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{32}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

Étape 5.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 5.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 7.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 7.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 7.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

Étape 7.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Étape 7.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Étape 7.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Étape 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 7.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.5

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 7.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Étape 8

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 9

Comme $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ et $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{1}{32}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{32 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 10.1.2

Multipliez $32$ par $3$ .

$\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{96}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{96 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 10.2.2

Multipliez $96$ par $2$ .

$\frac{1}{192} \cdot 1$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{192}$ par $1$ .

$\frac{1}{192}$