Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (9 x)}{8 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (9 x)}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sin (9 x)}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{5 \sin (lim_{x \to 0} 9 x)}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2.1.3

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \sin (9 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 \sin (9 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8 x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0}$

Étape 1.3.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (9 x)}{8 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (9 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x])}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [9 x])}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.6

Multipliez $9$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{45 \cos (9 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{45 \cos (9 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.8

Multipliez $45$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{45 \cos (9 x)}{\frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{45 \cos (9 x)}{8 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{45 \cos (9 x)}{8 \cdot 1}$

Étape 3.11

Multipliez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{45 \cos (9 x)}{8}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $\frac{45}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{45}{8} lim_{x \to 0} \cos (9 x)$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{45}{8} \cos (lim_{x \to 0} 9 x)$

Étape 4.3

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{45}{8} \cos (9 lim_{x \to 0} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{45}{8} \cos (9 \cdot 0)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{45}{8} \cos (0)$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{45}{8} \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{45}{8}$ par $1$ .

$\frac{45}{8}$