Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.2.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.5.2.6.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.6.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.6.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.5

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.5.5.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (0)$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$