Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\tan (π lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (π \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x)}$

Étape 1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.3

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.5

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) π}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.6

Réorganisez les facteurs de $\sec^{2} (π x) π$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x}}$

Étape 3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{x + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} π \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Étape 5

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (π x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$π {(lim_{x \to 0} \sec (π x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$π \sec^{2} (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Étape 9

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (0 + 1)$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$π \sec^{2} (0) \cdot (0 + 1)$

Étape 13.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$π \cdot 1^{2} \cdot (0 + 1)$

Étape 13.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$π \cdot 1 \cdot (0 + 1)$

Étape 13.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π \cdot (0 + 1)$

Étape 13.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$π \cdot 1$

Étape 13.6

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$