Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $4 π^{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $2 π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (0) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{2 π \cdot 0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.1.3

Multipliez $2 π \cdot 0$ .

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Étape 1.2.7.1.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0 π + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.1.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.1.4

Appliquez la règle de produit à $2 π$ .

$\frac{0 + 2^{2} π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0 + 4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.2

Additionnez $0$ et $4 π^{2}$ .

$\frac{4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.2.7.3

Soustrayez $4 π^{2}$ de $4 π^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - lim_{x \to 2 π} 2 π}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $2 π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 π - 2 π}$

Étape 1.3.3

Soustrayez $2 π$ de $2 π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π} = lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.5

Comme $- 4 π^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 π^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $x \cos (x) + \sin (x) + 2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Étape 3.9

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + 0}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1}$

Étape 4

Divisez $x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2 π$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $2 π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$2 π \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Étape 10.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2 π$ pour $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 π \cdot \cos (0) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 π \cdot 1 + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Étape 11.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 π + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Étape 11.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 π + 4 π + \sin (2 π)$

Étape 11.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 π + 4 π + \sin (0)$

Étape 11.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 π + 4 π + 0$

Étape 11.2

Additionnez $2 π$ et $4 π$ .

$6 π + 0$

Étape 11.3

Additionnez $6 π$ et $0$ .

$6 π$