Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$ comme $e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})$ en déplaçant $2 x + 1$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} (2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Étape 2.9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Étape 2.11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5})}$

Étape 2.12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5})}$

Étape 2.13

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Étape 4.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Étape 4.3

Simplifiez $17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})$ en déplaçant $17$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Étape 4.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $2$ par $8$ .

${(\frac{16 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(\frac{16 - 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Étape 4.5.3

Soustrayez $3$ de $16$ .

${(\frac{13}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $2$ par $8$ .

${(\frac{13}{16 + 5})}^{17}$

Étape 4.6.2

Additionnez $16$ et $5$ .

${(\frac{13}{21})}^{17}$

Étape 4.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{13}{21}$ .

$\frac{13^{17}}{21^{17}}$

Étape 4.8

Élevez $13$ à la puissance $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{21^{17}}$

Étape 4.9

Élevez $21$ à la puissance $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{30041942495081700000000}$

Étape 4.10

Annulez le facteur commun à $8650415919381340000$ et $30041942495081700000000$ .

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Étape 4.10.1

Factorisez $20000$ à partir de $8650415919381340000$ .

$\frac{20000 (432520795969067)}{30041942495081700000000}$

Étape 4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.1

Factorisez $20000$ à partir de $30041942495081700000000$ .

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Étape 4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Étape 4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{432520795969067}{1502097124754085000}$