Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x + \sqrt{x})}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + \sqrt{x})}^{2}$ comme $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ .

$\int (x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x}) d x$

Étape 1.2

Développez $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (x + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Étape 1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Étape 1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Étape 1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Étape 1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{1} d x$

Étape 1.3.1.2.5

Simplifiez

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x d x$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{x} x$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + x \sqrt{x} + x d x$

Étape 1.3.3

Additionnez $x \sqrt{x}$ et $x \sqrt{x}$ .

$\int x \cdot x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Étape 2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x^{2} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Étape 2.5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Étape 2.6

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + x d x$

Étape 2.6.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x d x$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + x d x$

Étape 2.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x d x$

Étape 2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x d x$

Étape 2.6.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{3}{2}} + x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C$