Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} d x$

Étape 1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$\int \frac{(x + 3) (x + 3)}{x + 2} d x$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x (x + 3) + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\int \frac{x \cdot x + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{1} x + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{1 + 1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Étape 9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9}{x + 2} d x$

Étape 10

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\int \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 2} d x$

Étape 11

Divisez $x^{2} + 6 x + 9$ par $x + 2$ .

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Étape 11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$6 x$

$9$

Étape 11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

Étape 11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$

Étape 11.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Étape 11.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Étape 11.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					+	$4 x$	+	$8$

Étape 11.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 8$

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$

Étape 11.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$
							+	$1$

Étape 11.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x + 4 + \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 15

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 15.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 15.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 15.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 15.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 15.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 15.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 15.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 16

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \ln (| u |) + C$

Étape 17

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| u |) + C$

Étape 18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x + 2 |) + C$