Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(x - 2)}^{3}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x - 2)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x - 2)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {(x - 2)}^{3} x^{- 2} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 2)}^{- 2} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{2} = u_{1} + 2$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $u_{1} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 2$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

Étape 3.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} - 2)}^{3} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 4

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\int {(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Étape 5.2

Associez $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2}$ et ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Étape 5.3

Placez ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Étape 5.4

Réécrivez ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ comme $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Étape 7.3

Retirez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Étape 7.4

Multipliez les exposants dans ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Étape 7.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Étape 7.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Étape 7.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{1}{2} \int ({({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{3} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.11

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.12

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.13

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.17

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.17.1

Annulez le facteur commun.

Étape 8.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.18

Simplifiez

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.19

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

Étape 8.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3 - 3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.26

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{0}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.27

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.27.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 (0)}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.27.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 8.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{0}{1}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.27.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{0} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.28

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.29

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.30

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.32

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.33

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.33.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.33.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.34

Simplifiez

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.35

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.36

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.37

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.38

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.39

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.40

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 6 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.41

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.42

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.43

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.44

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.45

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.45.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.45.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.45.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.45.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.45.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.45.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.46

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} + 4 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.47

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.48

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + 12 {u_{3}}^{- 1} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.49

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} + 1 - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.50

Remettez dans l’ordre $- 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ et $12 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int 12 {u_{3}}^{- 1} - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 8.51

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{2} \int 12 {u_{3}}^{- 1} - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int 12 {u_{3}}^{- 1} - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int 12 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 11

Comme $12$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (12 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 12

L’intégrale de ${u_{3}}^{- 1}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 13

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 15

Comme $- 8$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 8 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 8 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int d u_{3})$

Étape 17

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 8 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + u_{3} + C)$

Étape 18

Simplifiez

$\frac{1}{2} (12 \ln (| u_{3} |) - 12 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + u_{3}) + C$

Étape 19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 19.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - 12 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {u_{2}}^{2}) + C$

Étape 19.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {(u_{1} + 2)}^{2} |) - 12 {({(u_{1} + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(u_{1} + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u_{1} + 2)}^{2}) + C$

Étape 19.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {(x - 2 + 2)}^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Associez les termes opposés dans $12 \ln (| {(x - 2 + 2)}^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}$ .

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Étape 20.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20.1.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20.1.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20.1.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Étape 20.1.7

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 0)}^{2}) + C$

Étape 20.1.8

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 20.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x^{2 (\frac{1}{2})} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x^{2 (\frac{1}{2})} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x^{1} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.3

Simplifiez

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 20.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 20.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x^{2 (\frac{1}{2})}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x^{2 (\frac{1}{2})}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x^{1}} + x^{2}) + C$

Étape 20.2.4.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x} + x^{2}) + C$

Étape 20.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2})) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4

Simplifiez

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Étape 20.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12 \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (6 \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 (6 \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$6 \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (8)}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 8}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{8}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 20.4.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{8}{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{8}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$