Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ comme $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ .

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Étape 1.2

Développez $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{a}$ à la puissance $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{a}$ à la puissance $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{a}}^{2}$ comme $a$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a}$ comme $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2.5

Simplifiez

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Étape 1.3.1.6.2

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Étape 1.3.1.6.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 1.3.1.6.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Étape 1.3.1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Étape 1.3.1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.3.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Étape 1.3.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Étape 1.3.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 1.3.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Étape 1.3.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

Étape 1.3.1.7.5

Simplifiez

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

Étape 1.3.2

Soustrayez $\sqrt{a x}$ de $- \sqrt{x a}$ .

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Étape 1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $a$ .

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $\sqrt{a x}$ de $- \sqrt{a x}$ .

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Étape 4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Étape 5

Laissez $u = a x$ . Alors $d u = a d x$ , donc $\frac{1}{a} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = a x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $a x$ .

$\frac{d}{d x} [a x]$

Étape 5.1.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$a$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

Étape 6

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{a}$ .

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{a}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{a}$ en dehors de l’intégrale.

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{a}$ et $- 2$ .

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Étape 8.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Étape 8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a x$ .

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$