Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0.5}^{4} x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0.5}^{4} x^{3} d x + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 \int_{0.5}^{4} x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 \int_{0.5}^{4} x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + x]_{0.5}^{4}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4}$ et $x]_{0.5}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} + x$ sur $4$ et sur $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 256 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $256$ .

$\frac{256}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 10.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.3.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$64 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.4

Additionnez $64$ et $4$ .

$68 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.5

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$68 - (\frac{1}{4} \cdot 0.0625 + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $0.0625$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.7

Pour écrire $0.5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5 \cdot \frac{4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.8

Associez $0.5$ et $\frac{4}{4}$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + \frac{0.5 \cdot 4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$68 - \frac{0.0625 + 0.5 \cdot 4}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.10

Multipliez $0.5$ par $4$ .

$68 - \frac{0.0625 + 2}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.11

Additionnez $0.0625$ et $2$ .

$68 - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.12

Pour écrire $68$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$68 \cdot \frac{4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.13

Associez $68$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{68 \cdot 4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{68 \cdot 4 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.15

Multipliez $68$ par $4$ .

$\frac{272 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.16

Soustrayez $2.0625$ de $272$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.17

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.18

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{0.125}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{269.9375}{4} - 6 \frac{64 - 0.125}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.20

Soustrayez $0.125$ de $64$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{63.875}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.21

Associez $- 6$ et $\frac{63.875}{3}$ .

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 6 \cdot 63.875}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.22

Multipliez $- 6$ par $63.875$ .

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{269.9375}{4} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.24

Pour écrire $\frac{269.9375}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.25

Pour écrire $- \frac{383.25}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.4.26.1

Multipliez $\frac{269.9375}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.26.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.26.3

Multipliez $\frac{383.25}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.26.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{269.9375 \cdot 3 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.28

Multipliez $269.9375$ par $3$ .

$\frac{809.8125 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.29

Multipliez $- 383.25$ par $4$ .

$\frac{809.8125 - 1533}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.30

Soustrayez $1533$ de $809.8125$ .

$\frac{- 723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.31

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.32

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{16}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.33

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.33.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.33.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.33.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.33.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.33.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8}{1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.33.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Étape 10.2.4.34

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{0.25}{2})$

Étape 10.2.4.35

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{0.25}{2})$

Étape 10.2.4.36

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{0.25}{2})$

Étape 10.2.4.37

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{8 \cdot 2 - 0.25}{2}$

Étape 10.2.4.38

Multipliez $8$ par $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{16 - 0.25}{2}$

Étape 10.2.4.39

Soustrayez $0.25$ de $16$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{15.75}{2})$

Étape 10.2.4.40

Associez $9$ et $\frac{15.75}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{9 \cdot 15.75}{2}$

Étape 10.2.4.41

Multipliez $9$ par $15.75$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2}$

Étape 10.2.4.42

Pour écrire $\frac{141.75}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 10.2.4.43

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.4.43.1

Multipliez $\frac{141.75}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Étape 10.2.4.43.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{12}$

Étape 10.2.4.44

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 723.1875 + 141.75 \cdot 6}{12}$

Étape 10.2.4.45

Multipliez $141.75$ par $6$ .

$\frac{- 723.1875 + 850.5}{12}$

Étape 10.2.4.46

Additionnez $- 723.1875$ et $850.5$ .

$\frac{127.3125}{12}$

Étape 11

Divisez $127.3125$ par $12$ .

$10.609375$

Étape 12