Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 4 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 4 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $16$ à partir de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de produit à $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.7

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$\int \sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \sqrt{4096 \cos^{6} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.9

Réécrivez $4096 \cos^{6} (t)$ comme ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 64 \cos^{3} (t) (4 \cos (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $4$ par $64$ .

$\int 256 \cos^{3} (t) \cos (t) d t$

Étape 3.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 256 (\cos^{1} (t) \cos^{3} (t)) d t$

Étape 3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 256 {\cos (t)}^{1 + 3} d t$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int 256 \cos^{4} (t) d t$

Étape 4

Comme $256$ est constant par rapport à $t$ , placez $256$ en dehors de l’intégrale.

$256 \int \cos^{4} (t) d t$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$256 \int {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Étape 5.2

Réécrivez ${\cos (t)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$256 \int {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Étape 7

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Alors $d u_{1} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$256 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $256$ .

$\frac{256}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun à $256$ et $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 9.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 9.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 9.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 9.1.2.2.4

Divisez $128$ par $1$ .

$128 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 9.2

Réécrivez $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ comme un produit.

$128 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Étape 9.3

Développez ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Étape 9.3.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 9.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Étape 9.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.7

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.8

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.9

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.10

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.11

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.12

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.13

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.3.14

Multipliez $1$ par $1$ .

$128 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$128 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.16

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.17

Multipliez $2$ par $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.19

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.20

Multipliez $2$ par $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.21

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.22

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.23

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.24

Multipliez $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.25

Multipliez $2$ par $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.26

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.27

Multipliez $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.28

Multipliez $2$ par $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.3.29

Associez $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.30

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.31

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.33

Additionnez $1$ et $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.34

Additionnez $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.35

Associez $2$ et $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.36

Remettez dans l’ordre $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.3.37

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Étape 9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Étape 9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Étape 9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$128 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 11

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$128 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 12

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$128 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$128 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$128 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 14.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$128 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 15

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$128 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 17

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 17.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 17.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 17.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 17.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 17.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 18

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 19

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 20

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 21

Appliquez la règle de la constante.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 22

Associez $\frac{1}{4}$ et $u_{1}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})$

Étape 24

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Étape 25

Simplifiez

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Étape 25.1

Simplifiez

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2

Simplifiez

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Étape 25.2.1

Pour écrire $\frac{u_{1}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 25.2.2.1

Multipliez $\frac{u_{1}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$128 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$128 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 25.2.5

Additionnez $u_{1}$ et $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Étape 26

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 26.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Étape 26.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Étape 26.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 26.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 t))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 26.5

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 27.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 27.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 27.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 27.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 27.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$128 (\frac{3 (\arcsin (\frac{x}{4}))}{4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 27.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$128 (\frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 27.2

Appliquez la propriété distributive.

$128 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3

Simplifiez

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Étape 27.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 27.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $128$ .

$4 (32) \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 32 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$32 (3 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.2

Multipliez $3$ par $32$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.3

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 27.3.3.1

Factorisez $16$ à partir de $128$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 (8) \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 \cdot 8 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 27.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $128$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 (64) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 \cdot 64 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 27.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Étape 28

Remettez les termes dans l’ordre.

$96 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$