Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{10 z^{4} - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 z^{4} - 20$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 z^{4}$ .

$\int \frac{10 (z^{4}) - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Étape 1.1.2

Factorisez $10$ à partir de $- 20$ .

$\int \frac{10 z^{4} + 10 \cdot - 2}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Étape 1.1.3

Factorisez $10$ à partir de $10 z^{4} + 10 \cdot - 2$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Étape 1.2

Factorisez $z$ à partir de $z^{5} - 10 z$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{5}$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} - 10 z}} d z$

Étape 1.2.2

Factorisez $z$ à partir de $- 10 z$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} + z \cdot - 10}} d z$

Étape 1.2.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z^{4} + z \cdot - 10$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Étape 2

Comme $10$ est constant par rapport à $z$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int \frac{z^{4} - 2}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Étape 3

Laissez $u = z (z^{4} - 10)$ . Alors $d u = (5 z^{4} - 10) d z$ , donc $\frac{1}{5} d u = (z^{4} - 2) d z$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = z (z^{4} - 10)$ . Déterminez $\frac{d u}{d z}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $z (z^{4} - 10)$ .

$\frac{d}{d z} [z (z^{4} - 10)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = z$ et $g (z) = z^{4} - 10$ .

$z \frac{d}{d z} [z^{4} - 10] + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.3

Différenciez.

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Étape 3.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z^{4} - 10$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$z (\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$z (4 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.3.3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $z$ est $0$ .

$z (4 z^{3} + 0) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $4 z^{3}$ et $0$ .

$z (4 z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.4

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$4 (z^{1} z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 z^{1 + 3} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Étape 3.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \cdot 1$

Étape 3.1.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.8.1

Multipliez $z^{4} - 10$ par $1$ .

$4 z^{4} + z^{4} - 10$

Étape 3.1.8.2

Additionnez $4 z^{4}$ et $z^{4}$ .

$5 z^{4} - 10$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

Étape 4.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$10 \int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $10$ .

$\frac{10}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.1.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 6.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z (z^{4} - 10)$ .

$4 {(z (z^{4} - 10))}^{\frac{1}{2}} + C$