Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\tan^{3} (x) + \tan^{5} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$