Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} + 7 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int 7 d x$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

Étape 6.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 d x$

Étape 6.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 d x$

Étape 6.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 d x$

Étape 6.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 d x$

Étape 6.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C$