Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{2 y} - \frac{2}{y^{2}} + \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 6.2

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 9.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 9.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 3 (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 11.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$