Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{\frac{- y}{2}} d y$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{3 y} - \frac{5}{\sqrt{y}} + e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{3 y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{5}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - (5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 7.3

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 7.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 7.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 7.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 \int y^{- \frac{1}{2}} d y + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{- \frac{y}{2}} d y$

Étape 9

Laissez $u = - \frac{y}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d y$ , donc $- 2 d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = - \frac{y}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Étape 9.1.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{y}{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 10.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 10.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - e^{u} \cdot 2 d u$

Étape 10.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 2 e^{u} d u$

Étape 11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int e^{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| y |) + C) - 5 (2 y^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (e^{u} + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{u} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{y}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{3} - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{y}{2}} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} \ln (| y |) - 10 y^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- \frac{1}{2} y} + C$