Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{e}}{x^{4}} + \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{\sqrt{e}}{x^{4}} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Comme $\sqrt{e}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\sqrt{e}$ en dehors de l’intégrale.

$\sqrt{e} \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\sqrt{e} \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{e} \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\sqrt{e} \int x^{- 4} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , placez $π$ en dehors de l’intégrale.

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$- \frac{\sqrt{e}}{3 x^{3}} + π (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$- \frac{\sqrt{e}}{3 x^{3}} + 2 π x^{\frac{1}{2}} + C$