Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} + \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{\sqrt{5 x}}{5} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{5 x} d x + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Alors $d u_{1} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 4

Associez $\sqrt{u_{1}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 6.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{25} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 6.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1} + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{5}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{5 x}} d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Alors $d u_{2} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 9.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 5} d u_{2}$

Étape 10.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \frac{1}{5 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 12.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 12.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{5}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 12.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 1 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 12.1.3

Multipliez $\int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Étape 12.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 12.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 12.2.2

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 12.2.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 12.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 12.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 12.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C) + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

$\frac{1}{25} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2

Simplifiez

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Étape 14.2.1

Multipliez $\frac{1}{25}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{25 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2.2

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{2}{75} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{2}{75} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}} + C$