Calcul infinitésimal Exemples

$\int (4 x - 12) e^{- 8 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 4 x - 12$ et $d v = e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $e^{- 8 x}$ et $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.2

Associez $e^{- 8 x}$ et $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} \cdot 4 d x$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - 4 \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$

Étape 2.4

Associez $- 4$ et $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- 4 e^{- 8 x}}{8} d x$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{8} d x$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 (2)} d x$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 \cdot 2} d x$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- e^{- 8 x}}{2} d x$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - - \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Étape 4.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$ par $1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{- 8 x} d x$

Étape 6

Laissez $u = - 8 x$ . Alors $d u = - 8 d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Étape 7

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{8} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{2 \cdot 8} \int e^{u} d u$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

Réécrivez $(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ comme $\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Étape 12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 8 x$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$

Étape 14

Associez $e^{- 8 x}$ et $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{e^{- 8 x}}{16} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} x e^{- 8 x} + \frac{3}{2} e^{- 8 x} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$