Calcul infinitésimal Exemples

$\int 9 t^{2} + \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 9 t^{2} d t + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Étape 2

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int t^{2} d t + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{3}}$ comme $t^{\frac{3}{2}}$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t$

Étape 4.2

Retirez $t^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 4.3.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d t$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{- 3}{2}} d t$

Étape 4.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 6

Simplifiez

$3 t^{3} - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$