Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{5} + \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{5} d x + \int \sqrt[5]{x^{3}} d x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int \sqrt[5]{x^{3}} d x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int x^{- 3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$