Calcul infinitésimal Exemples

$\int 12 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 12 \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Étape 2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{5}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d x$

Étape 5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int x^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$12 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int x^{\frac{- 1}{5}} d x$

Étape 5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int x^{- \frac{1}{5}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}}$ .

$12 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + C$

Étape 7

Simplifiez

$8 x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + C$