Calcul infinitésimal Exemples

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ .

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Étape 8.2

Simplifiez

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Étape 9

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (u_{1})$ .

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

Étape 9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Étape 10.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$