Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 4

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 6.3

Multipliez $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ par $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

Étape 9

Laissez $u_{2} = - 2 y$ . Alors $d u_{2} = - 2 d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = - 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 9.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 10.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14.3

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 15

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

Étape 16

Simplifiez

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$