Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 x + 3) \sqrt{2 x - 1} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 2 x + 3$ et $d v = \sqrt{2 x - 1}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2 d x$

Étape 2.3

Associez $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} d x$

Étape 2.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Pour écrire ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.2

Associez ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 9.2.5

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 9.2.6

Multipliez $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Étape 9.2.7

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C$