Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 \cos (7 x) - \sin (\frac{x}{2}) - π d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 7 x$ . Alors $d u_{1} = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 7 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 4

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{7}$ .

$2 \int \frac{\cos (u_{1})}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$\frac{2}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = \frac{x}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Laissez $u_{2} = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 9.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int - π d x$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2} + \int - π d x$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \cdot 2 d u_{2} + \int - π d x$

Étape 10.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int - π d x$

Étape 12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 \int \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

Étape 13

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) + \int - π d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) - π x + C$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{2 \sin (u_{1})}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 x$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (\frac{x}{2}) - π x + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{7} \sin (7 x) + 2 \cos (\frac{1}{2} x) - π x + C$