Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {2.3}^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2.3$ .

$f' (x) = {2.3}^{x} \ln (2.3)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\ln (2.3)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de ${2.3}^{x} \ln (2.3)$ par rapport à $x$ est $\ln (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ .

$\ln (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2.3$ .

$\ln (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

Étape 2.3

Élevez $\ln (2.3)$ à la puissance $1$ .

${2.3}^{x} (\ln^{1} (2.3) \ln (2.3))$

Étape 2.4

Élevez $\ln (2.3)$ à la puissance $1$ .

${2.3}^{x} (\ln^{1} (2.3) \ln^{1} (2.3))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${2.3}^{x} {\ln (2.3)}^{1 + 1}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = {2.3}^{x} \ln^{2} (2.3)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\ln^{2} (2.3)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de ${2.3}^{x} \ln^{2} (2.3)$ par rapport à $x$ est $\ln^{2} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ .

$\ln^{2} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2.3$ .

$\ln^{2} (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

Étape 3.3

Multipliez $\ln^{2} (2.3)$ par $\ln (2.3)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $\ln (2.3)$ .

$\ln (2.3) \ln^{2} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\ln (2.3)$ par $\ln^{2} (2.3)$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $\ln (2.3)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (2.3) \ln^{2} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (2.3)}^{1 + 2} \cdot {2.3}^{x}$

Étape 3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$ .

$f''' (x) = {2.3}^{x} \ln^{3} (2.3)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $\ln^{3} (2.3)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de ${2.3}^{x} \ln^{3} (2.3)$ par rapport à $x$ est $\ln^{3} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ .

$\ln^{3} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2.3$ .

$\ln^{3} (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

Étape 4.3

Multipliez $\ln^{3} (2.3)$ par $\ln (2.3)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Déplacez $\ln (2.3)$ .

$\ln (2.3) \ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\ln (2.3)$ par $\ln^{3} (2.3)$ .

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Étape 4.3.2.1

Élevez $\ln (2.3)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (2.3) \ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Étape 4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (2.3)}^{1 + 3} \cdot {2.3}^{x}$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\ln^{4} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $\ln^{4} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$ .

$f^{4} (x) = {2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est ${2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$ .

${2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$