Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x^{2}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $x$ est $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.3.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Étape 1.4

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 a x + b + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $2 a x + b$ et $0$ .

$2 a x + b$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = b + 2 a x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $b + 2 a x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$

Étape 2.1.2

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 a x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 a x$ par rapport à $x$ est $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 a \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 a \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2 a$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Étape 3

Comme $2 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 0$

Étape 4

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$