Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

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Étape 2.6.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.1

Associez les termes opposés dans $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Étape 2.8.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x e^{x}$ et $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.1.2

Soustrayez $e^{x} x$ de $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.1.3

Additionnez $x (x e^{x})$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.4.2.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.5.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.8

Différenciez.

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Étape 3.8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.10.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 3.10.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.10.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.10.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ .

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Étape 3.10.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.10.2.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

Étape 3.10.2.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x})) + x^{2} (- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{6}}$

Étape 3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$f''' (x) = \frac{x^{2} (x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.1

Associez les termes opposés dans $x (x^{2} e^{x}) + x (e^{x} (2 x)) + x (- 2 (x e^{x})) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})$ .

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Étape 3.12.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (e^{x} (2 x))$ et $x (- 2 (x e^{x}))$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 2 e^{x} x \cdot x - 2 e^{x} x \cdot x + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.1.2

Soustrayez $2 e^{x} x \cdot x$ de $2 e^{x} x \cdot x$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 0 + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.1.3

Additionnez $x (x^{2} e^{x})$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + x (- 2 e^{x}) + x (2 e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (- 2 e^{x})$ et $x (2 e^{x})$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) - 2 e^{x} x + 2 e^{x} x - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.1.5

Additionnez $- 2 e^{x} x$ et $2 e^{x} x$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) + 0 - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.1.6

Additionnez $x (x^{2} e^{x})$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{x (x^{2} e^{x}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.4.2.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} x e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.12.4.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{2} x e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = \frac{x^{2 + 1} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (- 2 x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 3 (2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 3.12.4.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Étape 3.12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = \frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Étape 3.12.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 6 e^{x}}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}}{x^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.5

Différenciez.

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Étape 4.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.5.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.8

Différenciez.

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Étape 4.8.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (6 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.8.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.11

Différenciez.

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Étape 4.11.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.11.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.11.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 \frac{d}{d x} e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.12

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.13.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 4.13.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.13.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.13.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}$ .

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Étape 4.13.2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.13.2.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) + x^{3} (- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{8}}$

Étape 4.13.2.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x})) + x^{3} (- 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{8}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} (x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15

Simplifiez

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Étape 4.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x} + e^{x}) - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) - 3 (x^{2} e^{x}) - 3 (e^{x} (2 x)) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} - 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.15.5.1

Associez les termes opposés dans $x (x^{3} e^{x}) + x (e^{x} (3 x^{2})) + x (- 3 (x^{2} e^{x})) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})$ .

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Étape 4.15.5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (e^{x} (3 x^{2}))$ et $x (- 3 (x^{2} e^{x}))$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + 3 e^{x} x^{2} x - 3 e^{x} x^{2} x + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.1.2

Soustrayez $3 e^{x} x^{2} x$ de $3 e^{x} x^{2} x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + 0 + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.1.3

Additionnez $x (x^{3} e^{x})$ et $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + x (6 e^{x}) + x (- 6 e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (6 e^{x})$ et $x (- 6 e^{x})$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + 6 e^{x} x - 6 e^{x} x - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.1.5

Soustrayez $6 e^{x} x$ de $6 e^{x} x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) + 0 - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.1.6

Additionnez $x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x}))$ et $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.15.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.5.2.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} x e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.15.5.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{3} x e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \frac{x^{3 + 1} e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} + x (- 3 (e^{x} (2 x))) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 x (e^{x} x)) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.5.2.3.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 (x \cdot x) e^{x}) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 3 \cdot (2 x^{2} e^{x}) + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + x (6 (x e^{x})) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x (x e^{x}) - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.5.2.6.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 (x \cdot x) e^{x} - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x}) - 4 (- 3 x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.7

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 (x^{2} e^{x}) - 4 (6 x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.8

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 (x e^{x}) - 4 (- 6 e^{x})}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.2.9

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.3

Associez les termes opposés dans $x^{4} e^{x} - 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}$ .

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Étape 4.15.5.3.1

Additionnez $- 6 x^{2} e^{x}$ et $6 x^{2} e^{x}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} + 0 - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 4.15.5.3.2

Additionnez $x^{4} e^{x}$ et $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 4.15.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = \frac{e^{x} x^{4} - 4 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} - 24 e^{x} x + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 4.15.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x^{4} - 4 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} - 24 e^{x} x + 24 e^{x}}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 4 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} - 24 x e^{x} + 24 e^{x}}{x^{5}}$