Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x^{5})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \sin (x^{5}) (5 x^{4})$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \sin (x^{5}) x^{4}$

Étape 1.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $- 5 \sin (x^{5}) x^{4}$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} \sin (x^{5})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4} \sin (x^{5})$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{5})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{5})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sin (x^{5})$ .

$- 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$- 5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 5 (x^{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$- 5 (x^{4} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 5 (x^{4} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- 5 (x^{4} x^{4} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (x^{4 + 4} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$- 5 (x^{8} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (x^{5})$ .

$- 5 (x^{8} (5 \cdot \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 (x^{8} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (x^{8} (5 \cos (x^{5}))) - 5 (\sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

Étape 2.8.2

Associez des termes.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$- 25 (x^{8} (\cos (x^{5}))) - 5 (\sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 \sin (x^{5}) x^{3}$

Étape 2.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 x^{3} \sin (x^{5})$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 x^{3} \sin (x^{5})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25 x^{8} \cos (x^{5})$ par rapport à $x$ est $- 25 \frac{d}{d x} [x^{8} \cos (x^{5})]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = \cos (x^{5})$ .

$- 25 (x^{8} \frac{d}{d x} [\cos (x^{5})] + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{5}$ .

$- 25 (x^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{5}$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 25 (x^{8} (- 5 \sin (x^{5}) x^{4}) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{8}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- 25 (x^{4} x^{8} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 25 (x^{4 + 8} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.2.7.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3} \sin (x^{5})$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{5})]$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{5})]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x^{5})$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{5}$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{5}$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{4} x^{3} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{4 + 3} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.3.6.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.3.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (x^{5})$ .

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 5$ par $- 25$ .

$125 (x^{12} (\sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $8$ par $- 25$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 (\cos (x^{5}) (x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 \cos (x^{5}) x^{7} - 100 (x^{7} (\cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.4

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 \cos (x^{5}) x^{7} - 100 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 (\sin (x^{5}) (x^{2}))$

Étape 3.4.3.5

Soustrayez $100 x^{7} \cos (x^{5})$ de $- 200 \cos (x^{5}) x^{7}$ .

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Étape 3.4.3.5.1

Déplacez $\cos (x^{5})$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 x^{7} \cos (x^{5}) - 100 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 \sin (x^{5}) x^{2}$

Étape 3.4.3.5.2

Soustrayez $100 x^{7} \cos (x^{5})$ de $- 200 x^{7} \cos (x^{5})$ .

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 \sin (x^{5}) x^{2}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 x^{2} \sin (x^{5})$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 x^{2} \sin (x^{5})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $125$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $125 x^{12} \sin (x^{5})$ par rapport à $x$ est $125 \frac{d}{d x} [x^{12} \sin (x^{5})]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{12}$ et $g (x) = \sin (x^{5})$ .

$125 (x^{12} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{5}$ .

$125 (x^{12} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$125 (x^{12} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{5}$ .

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.6

Multipliez $x^{12}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Déplacez $x^{4}$ .

$125 (x^{4} x^{12} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$125 (x^{4 + 12} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.6.3

Additionnez $4$ et $12$ .

$125 (x^{16} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.2.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (x^{5})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 300$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 300 x^{7} \cos (x^{5})$ par rapport à $x$ est $- 300 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x^{5})]$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \cos (x^{5})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} \frac{d}{d x} [\cos (x^{5})] + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- 5 \sin (x^{5}) x^{4}) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.7

Multipliez $x^{7}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{4} x^{7} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{4 + 7} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.3.7.3

Additionnez $4$ et $7$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{2} \sin (x^{5})$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{5})]$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{5})]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x^{5})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 4.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.3.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x^{5}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.4.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.6.1

Déplacez $x^{4}$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{4} x^{2} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{4 + 2} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.4.6.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.4.7

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (x^{5})$ .

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4

Associez des termes.

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Étape 4.5.4.1

Multipliez $5$ par $125$ .

$625 (x^{16} (\cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.2

Multipliez $12$ par $125$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 (\sin (x^{5}) (x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.3

Multipliez $- 5$ par $- 300$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 \sin (x^{5}) x^{11} + 1500 (x^{11} (\sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.4

Multipliez $7$ par $- 300$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 \sin (x^{5}) x^{11} + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 (\cos (x^{5}) (x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.5

Additionnez $1500 \sin (x^{5}) x^{11}$ et $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ .

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Étape 4.5.4.5.1

Déplacez $\sin (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.5.2

Additionnez $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ et $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.6

Multipliez $5$ par $- 60$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 300 (x^{6} (\cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

Étape 4.5.4.7

Multipliez $2$ par $- 60$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 300 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 (\sin (x^{5}) (x))$

Étape 4.5.4.8

Soustrayez $300 x^{6} \cos (x^{5})$ de $- 2100 \cos (x^{5}) x^{6}$ .

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Étape 4.5.4.8.1

Déplacez $\cos (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 x^{6} \cos (x^{5}) - 300 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 \sin (x^{5}) x$

Étape 4.5.4.8.2

Soustrayez $300 x^{6} \cos (x^{5})$ de $- 2100 x^{6} \cos (x^{5})$ .

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2400 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 \sin (x^{5}) x$

Étape 4.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2400 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 x \sin (x^{5})$