Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \cos (x) + \frac{2}{2} x$

Étape 1.3.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

Étape 1.3.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$2 \cos (x) + x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x + 2 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Étape 3.3

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x))$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x)$