Calcul infinitésimal Exemples

$\arccos (x)$

Étape 1

La dérivée de $\arccos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9.2

Associez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.3.1

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9.3.3

Multipliez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x)) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.15

Simplifiez les termes.

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Étape 2.15.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x) + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.15.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.15.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.15.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.18

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.19

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.19.1

Multipliez $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 2.19.2

Additionnez $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}] + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.14

Multipliez.

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Étape 3.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.14.2

Multipliez $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ par $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.16

Associez les fractions.

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Étape 3.16.1

Associez $2$ et $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.16.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.16.3

Associez $\frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ et $x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) x}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x))}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{1}))}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.21

Factorisez $2$ à partir de $6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.22.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.22.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.22.4

Divisez $3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.23

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Étape 3.24

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.24.1

Multipliez $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ par $0$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} + 0$

Étape 3.24.2

Additionnez $- \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$ et $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}] + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.2

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}] - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{({(1 - x^{2})}^{3})}^{2}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}] - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{3 \cdot 2}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}] - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.9

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.15

Simplifiez les termes.

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Étape 4.15.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.15.2

Associez $- 2$ et $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{- 2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.15.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{- 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.15.4

Associez $\frac{- 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{- 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.15.5

Factorisez $2$ à partir de $- 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{2 (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2} + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{2 (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.16.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{2 (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.16.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{1} + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.16.4

Divisez $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ par $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.17

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}]) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.18

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.19.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.19.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}])) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.20

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 4.20.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.20.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.20.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.21

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.22

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.24.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.24.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.25

Associez les fractions.

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Étape 4.25.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.25.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.25.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + x^{2} (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.25.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.26

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.27

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.28

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.29

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.30

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.31

Associez les fractions.

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Étape 4.31.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x))) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.31.2

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.31.3

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.32

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.33

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.34

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.35

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.36

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.36.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.36.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.36.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.37

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.38

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.39

Pour écrire $2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 (\frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.40

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.41

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.41.1

Déplacez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.41.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.41.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.41.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.41.5

Divisez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x {(- x^{2} + 1)}^{1} - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.42

Simplifiez $2 x {(- x^{2} + 1)}^{1}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 3 \frac{2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.43

Associez $3$ et $\frac{2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.44

Pour écrire $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.45

Associez $- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} (\frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.46

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.47

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.48

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.48.1

Déplacez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.48.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.48.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.48.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.48.5

Divisez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 {(- x^{2} + 1)}^{1} x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.49

Simplifiez $- 3 {(- x^{2} + 1)}^{1} x$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{3} \frac{- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.50

Associez ${(1 - x^{2})}^{3}$ et $\frac{- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{3} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.51

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{\frac{{(- x^{2} + 1)}^{3} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.52

Factorisez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(- x^{2} + 1)}^{3} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}))$ .

$- \frac{\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.53

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.53.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})))}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.53.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.53.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}))}{1} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.53.4

Divisez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3}))$ par $1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{3}]}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.54

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 4.54.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.54.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.54.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $1 - x^{2}$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (3 {(1 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55

Différenciez.

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Étape 4.55.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) - 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} (2 x))}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.55.8.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (2 \cdot {(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.55.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

Étape 4.55.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.55.10.1

Multipliez $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$ par $0$ .

Étape 4.55.10.2

Additionnez $- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2} + 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$ et $0$ .

Étape 4.56

Simplifiez

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Étape 4.56.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} ((- 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 1) x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2}) x - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2} + 1) - x^{3})) + 6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2}) x - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 1 - x^{3})) + 6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2}) x - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + 6 ({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{2}) x - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.56.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.56.6.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- (x \cdot x^{2})) - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.56.6.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- (x^{1} x^{2})) - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{1 + 2}) - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 (- x^{3}) - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 \cdot 1 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x + 3 (2 x (- x^{2})) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x + 3 (2 (x^{2} x) \cdot - 1) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.56.6.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x + 3 (2 (x^{2} x^{1}) \cdot - 1) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x + 3 (2 x^{2 + 1} \cdot - 1) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x + 3 (2 x^{3} \cdot - 1) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x - 6 x^{3} + 3 (2 x \cdot 1) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x - 6 x^{3} + 3 (2 x) + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x - 6 x^{3} + 6 x + 3 (- x^{3})) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x^{3} - 3 x - 6 x^{3} + 6 x - 3 x^{3}) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{3} - 3 x - 6 x^{3} + 6 x - 3 x^{3}$ .

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Étape 4.56.6.2.1

Soustrayez $3 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 x - 6 x^{3} + 6 x + 0) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.2.2

Additionnez $- 3 x - 6 x^{3} + 6 x$ et $0$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 3 x - 6 x^{3} + 6 x) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.3

Additionnez $- 3 x$ et $6 x$ .

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 6 x^{3} + 3 x) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (- 6 x^{3}) + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} (3 x) + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ({(1 - x^{2})}^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.8

Réécrivez ${(1 - x^{2})}^{2}$ comme $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - x^{2}) (1 - x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.9

Développez $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.56.6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2})) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2})) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4.56.6.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.56.6.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.56.6.10.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2})) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.10.1.2

Multipliez $- x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - x^{2} - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2})) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.10.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - x^{2} - x^{2} - x^{2} (- x^{2})) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.10.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.10.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.56.6.10.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

Étape 4.56.6.10.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 4.56.6.10.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

Étape 4.56.6.10.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{4}) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.10.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - x^{2} - x^{2} + x^{4}) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.10.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) ((1 - 2 x^{2} + x^{4}) x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.11

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (1 x - 2 x^{2} x + x^{4} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12

Simplifiez

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Étape 4.56.6.12.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{2} x + x^{4} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.12.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{4} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.56.6.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{4} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{1 + 2} + x^{4} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{3} + x^{4} x)}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.3

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.12.3.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.56.6.12.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{3} + x^{4} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{3} + x^{4 + 1})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.12.3.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{3} + x^{5})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.13

Développez $(6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) (x - 2 x^{3} + x^{5})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- 2 x^{3}) + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.56.6.14.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 6 \cdot - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.14.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x^{2}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.56.6.14.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{2}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 2} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} (- 2 x^{3}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.14.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{3} x^{2}) \cdot - 2 + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3 + 2} \cdot - 2 + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.4.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} \cdot - 2 + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.5

Multipliez $- 2$ par $18$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{5}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.6

Multipliez $x^{2}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.56.6.14.6.1

Déplacez $x^{5}$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{5} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.14.6.3

Additionnez $5$ et $2$ .

$- \frac{- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15

Réécrivez $- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}$ en forme factorisée.

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Étape 4.56.6.15.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3} + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}$ .

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Étape 4.56.6.15.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{3}$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.4

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{3}$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.5

Factorisez $3 x$ à partir de $6 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{5}$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3} - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.6

Factorisez $3 x$ à partir de $18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{3}$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) - 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5} + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.7

Factorisez $3 x$ à partir de $- 36 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{5}$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.8

Factorisez $3 x$ à partir de $18 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{7}$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.9

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2}) + 3 x ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.10

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.11

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + 3 x (- 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2})$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.12

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2}) + 3 x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4})$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.13

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2})$ .

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2}) + 3 x (- 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.14

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) + 3 x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.1.15

$- \frac{3 x (- 2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} x^{2} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{2} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x^{4} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 12 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{6})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$

Étape 4.56.6.15.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = - \frac{3 x (- 2 x^{2} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 4 x^{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 x^{4} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 6 x^{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 12 x^{4} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{6} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(- x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{6}}$