Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.2.5

Déplacez $9$ à gauche de $e^{9 x}$ .

$9 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$9 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.3.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.3.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 e^{9 x} + 7 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.3.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Étape 1.3.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Étape 1.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Étape 1.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) + 7 (- \sin^{2} (x))$

Étape 1.4.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f' (x) = 9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 x$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 x$ .

$9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.6

Déplacez $9$ à gauche de $e^{9 x}$ .

$9 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $9$ par $9$ .

$81 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$81 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$81 e^{9 x} + 7 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.4.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Réorganisez les facteurs de $- 14 \sin (x) \cos (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.5.1.2

Soustrayez $14 \cos (x) \sin (x)$ de $- 14 \cos (x) \sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 28 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $- 28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 28 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.2

$- 28 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 28 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 28 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \cdot 9)$

Étape 3.3.6

Déplacez $9$ à gauche de $e^{9 x}$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (9 \cdot e^{9 x})$

Étape 3.3.7

Multipliez $9$ par $81$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 28 \cos^{2} (x) - 28 (- \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 28$ .

$- 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x) + 729 e^{9 x}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $729$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $729 e^{9 x}$ par rapport à $x$ est $729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 9 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 x$ .

$729 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$729 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 x$ .

$729 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$729 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$729 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$729 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.6

Déplacez $9$ à gauche de $e^{9 x}$ .

$729 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $9$ par $729$ .

$6561 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 28 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$6561 e^{9 x} - 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 28$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.4.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 4.4.4

Multipliez $2$ par $28$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \sin (x) \cos (x)$

Étape 4.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Réorganisez les facteurs de $56 \sin (x) \cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4.5.1.2

Additionnez $56 \cos (x) \sin (x)$ et $56 \cos (x) \sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 112 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = 112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$ .

$112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$