Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

Étape 1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))$

Étape 1.2.6

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (2 x - 4 + 0)$

Étape 1.2.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \cdot (2 x - 4)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$ .

$f' (x) = (2 x - 4) (\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20})$

Étape 1.3.2

Multipliez $2 x - 4$ par $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $x^{2} - 4 x + 20$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.10

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.11

Associez les fractions.

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Étape 2.3.11.1

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}})$

Étape 2.3.11.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 + (- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 20 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 20 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez $2$ par $20$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.4

Développez $(- x + 2) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.1.6

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.5.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.4.3.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.7.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.7.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 40 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.3

Additionnez $- 8 x$ et $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8 x + 40 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.3.4

Soustrayez $16$ de $40$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 8 x + 24$ .

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Étape 2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 4 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 2 x + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 2) - 6 (- x - 2))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 2) (x - 6))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.8

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 2.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{(x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Étape 3.2

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 6)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4 x + 20)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 6)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 6)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x - 6$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 6) + (x - 6) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x - 6) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x - 6) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 6) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 6) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (x + 2 + (x - 6) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (x + 2 + (x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (x + 2 + (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (x + 2 + (x - 6) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (x + 2 + (x - 6) \cdot 1) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (x + 2 + x - 6) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x + 2 - 6) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.5.8.4

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4) - (x + 2) (x - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4) - (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4) - (x + 2) (x - 6) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4) - (x + 2) (x - 6) (2 (x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) ((x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.7.2

Factorisez $x^{2} - 4 x + 20$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) ((x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20])$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 20$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (2 x - 4)$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4)) - 2 (x + 2) (x - 6) ((x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $x^{2} - 4 x + 20$ à partir de $- 2 (x + 2) (x - 6) ((x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20])$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4)) + (x^{2} - 4 x + 20) (- 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.7.2.3

Factorisez $x^{2} - 4 x + 20$ à partir de $(x^{2} - 4 x + 20) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4)) + (x^{2} - 4 x + 20) (- 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]))$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 20$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{(x^{2} - 4 x + 20) {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{(x^{2} - 4 x + 20) {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.13

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.14

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.15

Associez les fractions.

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Étape 3.15.1

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.15.2

Associez $- 2$ et $\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.15.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{(2) ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) - 2 (x + 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{2 ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{2 ((x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4)) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.3.1.1

Développez $(x^{2} - 4 x + 20) (2 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f''' (x) = - \frac{2 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.16.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 4 x (2 x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.1.2.5.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x^{2}) - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x^{2} - 4 x \cdot - 4 + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.7

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x^{2} + 16 x + 20 (2 x) + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.8

Multipliez $2$ par $20$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x^{2} + 16 x + 40 x + 20 \cdot - 4) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.2.9

Multipliez $20$ par $- 4$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x^{2} + 16 x + 40 x - 80) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.3

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + 40 x - 80) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.4

Additionnez $16 x$ et $40 x$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3} - 12 x^{2} + 56 x - 80) + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (56 x) + 2 \cdot - 80 + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.6

Simplifiez

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Étape 3.16.3.1.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (56 x) + 2 \cdot - 80 + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.6.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 2 (56 x) + 2 \cdot - 80 + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.6.3

Multipliez $56$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x + 2 \cdot - 80 + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.6.4

Multipliez $2$ par $- 80$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x - 4) (x - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.8

Développez $(- 2 x - 4) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.16.3.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x (x - 6) - 4 (x - 6)) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 6 - 4 (x - 6)) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.16.3.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.3.1.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.1.9.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.9.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.9.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x^{2} + 12 x - 4 x - 4 \cdot - 6) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.9.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x^{2} + 12 x - 4 x + 24) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.9.2

Soustrayez $4 x$ de $12 x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 ((- 2 x^{2} + 8 x + 24) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.10

Développez $(- 2 x^{2} + 8 x + 24) (2 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.3.1.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 2 \cdot (2 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.1.11.2.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.16.3.1.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 2 \cdot (2 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 4 + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 \cdot (2 x \cdot x) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.1.11.6.1

Déplacez $x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 \cdot (2 (x \cdot x)) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 \cdot (2 x^{2}) + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.7

Multipliez $8$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x^{2} + 8 x \cdot - 4 + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.8

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x + 24 (2 x) + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.9

Multipliez $2$ par $24$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x + 48 x + 24 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.11.10

Multipliez $24$ par $- 4$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x + 48 x - 96)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.12

Additionnez $8 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 48 x - 96)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.13

Additionnez $- 32 x$ et $48 x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3} + 24 x^{2} + 16 x - 96)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 2 (- 4 x^{3}) + 2 (24 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 96}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.15

Simplifiez

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Étape 3.16.3.1.15.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 - 8 x^{3} + 2 (24 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 96}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.15.2

Multipliez $24$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 - 8 x^{3} + 48 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 96}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.15.3

Multipliez $16$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 - 8 x^{3} + 48 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 96}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.1.15.4

Multipliez $2$ par $- 96$ .

$f''' (x) = - \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 - 8 x^{3} + 48 x^{2} + 32 x - 192}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.2

Soustrayez $8 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 4 x^{3} - 24 x^{2} + 112 x - 160 + 48 x^{2} + 32 x - 192}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.3

Additionnez $- 24 x^{2}$ et $48 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 4 x^{3} + 24 x^{2} + 112 x - 160 + 32 x - 192}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.4

Additionnez $112 x$ et $32 x$ .

$f''' (x) = - \frac{- 4 x^{3} + 24 x^{2} + 144 x - 160 - 192}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.3.5

Soustrayez $192$ de $- 160$ .

$f''' (x) = - \frac{- 4 x^{3} + 24 x^{2} + 144 x - 352}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3} + 24 x^{2} + 144 x - 352$ .

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Étape 3.16.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3}) + 24 x^{2} + 144 x - 352}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4.2

Factorisez $4$ à partir de $24 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3}) + 4 (6 x^{2}) + 144 x - 352}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4.3

Factorisez $4$ à partir de $144 x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3}) + 4 (6 x^{2}) + 4 (36 x) - 352}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4.4

Factorisez $4$ à partir de $- 352$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3}) + 4 (6 x^{2}) + 4 (36 x) + 4 (- 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{3}) + 4 (6 x^{2})$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3} + 6 x^{2}) + 4 (36 x) + 4 (- 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{3} + 6 x^{2}) + 4 (36 x)$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3} + 6 x^{2} + 36 x) + 4 (- 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.4.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{3} + 6 x^{2} + 36 x) + 4 (- 88)$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- x^{3} + 6 x^{2} + 36 x - 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3}) + 6 x^{2} + 36 x - 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.6

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 36 x - 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3} - 6 x^{2}) + 36 x - 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.8

Factorisez $- 1$ à partir de $36 x$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 36 x) - 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 36 x)$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x) - 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.10

Réécrivez $- 88$ comme $- 1 (88)$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x) - 1 \cdot 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x) - 1 (88)$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.12

Réécrivez $- (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)$ comme $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)$ .

$f''' (x) = - \frac{4 (- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = \frac{4 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 3.16.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{4 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}})$

Étape 3.16.15

Multipliez $\frac{4 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{4 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}]$ .

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}})$

Étape 4.2

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{3})}^{2}})$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4 x + 20)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3 \cdot 2}})$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [88]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.7

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.9

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36 + \frac{d}{d x} (88)) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.10

Comme $88$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $88$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36 + 0) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.3.11

Additionnez $3 x^{2} - 12 x - 36$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{3}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 20$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36) - (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (3 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.5.2

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20])$ .

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Étape 4.5.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{3} (3 x^{2} - 12 x - 36)$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36)) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.5.2.2

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}$ à partir de $- 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20])$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36)) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (- 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.5.2.3

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36)) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} (- 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]))$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}})$

Étape 4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.1

Factorisez ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{6}$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.11

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.12

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.13

Associez les fractions.

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Étape 4.13.1

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}})$

Étape 4.13.2

Associez $4$ et $\frac{(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) - 3 (x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14

Simplifiez

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Étape 4.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{4 ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36) + (- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{4 ((x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36)) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.14.3.1.1

Développez $(x^{2} - 4 x + 20) (3 x^{2} - 12 x - 36)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f^{4} (x) = \frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.14.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 2} + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} + x^{2} (- 12 x) + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{2} x + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.14.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.14.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} + x^{2} \cdot - 36 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.5

Déplacez $- 36$ à gauche de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 \cdot x^{2} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 4 \cdot (3 x \cdot x^{2}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.3.1.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 4 \cdot (3 (x^{2} x)) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.14.3.1.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.14.3.1.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 4 \cdot (3 x^{2 + 1}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 4 \cdot (3 x^{3}) - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.8

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} - 4 x (- 12 x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} - 4 \cdot (- 12 x \cdot x) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.3.1.2.10.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} - 4 \cdot (- 12 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} - 4 \cdot (- 12 x^{2}) - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.11

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 4 x \cdot - 36 + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.12

Multipliez $- 36$ par $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2} + 144 x + 20 (3 x^{2}) + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.13

Multipliez $3$ par $20$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2} + 144 x + 60 x^{2} + 20 (- 12 x) + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.14

Multipliez $- 12$ par $20$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2} + 144 x + 60 x^{2} - 240 x + 20 \cdot - 36) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.2.15

Multipliez $20$ par $- 36$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2} + 144 x + 60 x^{2} - 240 x - 720) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.3

Soustrayez $12 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 24 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x^{2} + 144 x + 60 x^{2} - 240 x - 720) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.4

Additionnez $- 36 x^{2}$ et $48 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} + 144 x + 60 x^{2} - 240 x - 720) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.5

Additionnez $12 x^{2}$ et $60 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 24 x^{3} + 72 x^{2} + 144 x - 240 x - 720) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.6

Soustrayez $240 x$ de $144 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4} - 24 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x - 720) + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{4 (3 x^{4}) + 4 (- 24 x^{3}) + 4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot - 720 + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.8

Simplifiez

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Étape 4.14.3.1.8.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} + 4 (- 24 x^{3}) + 4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot - 720 + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.8.2

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 4 (72 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot - 720 + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.8.3

Multipliez $72$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot - 720 + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.8.4

Multipliez $- 96$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x + 4 \cdot - 720 + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.8.5

Multipliez $4$ par $- 720$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 ((- 3 x^{3} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.14.3.1.9.1

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 ((- 3 x^{3} + 18 x^{2} - 3 (- 36 x) - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.9.2

Multipliez $- 36$ par $- 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 ((- 3 x^{3} + 18 x^{2} + 108 x - 3 \cdot 88) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.9.3

Multipliez $- 3$ par $88$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 ((- 3 x^{3} + 18 x^{2} + 108 x - 264) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.10

Développez $(- 3 x^{3} + 18 x^{2} + 108 x - 264) (2 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 3 x^{3} (2 x) - 3 x^{3} \cdot - 4 + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.14.3.1.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 3 \cdot (2 x^{3} x) - 3 x^{3} \cdot - 4 + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.3.1.11.2.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 3 \cdot (2 (x \cdot x^{3})) - 3 x^{3} \cdot - 4 + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.14.3.1.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.14.3.1.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 3 \cdot (2 x^{1 + 3}) - 3 x^{3} \cdot - 4 + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 3 \cdot (2 x^{4}) - 3 x^{3} \cdot - 4 + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} - 3 x^{3} \cdot - 4 + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.4

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 18 x^{2} (2 x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 18 \cdot (2 x^{2} x) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.3.1.11.6.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 18 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.14.3.1.11.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 4.14.3.1.11.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 18 \cdot (2 x^{1 + 2}) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 18 \cdot (2 x^{3}) + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.7

Multipliez $18$ par $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} + 18 x^{2} \cdot - 4 + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.8

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 108 x (2 x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 108 \cdot (2 x \cdot x) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.14.3.1.11.10.1

Déplacez $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 108 \cdot (2 (x \cdot x)) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 108 \cdot (2 x^{2}) + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.11

Multipliez $108$ par $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 216 x^{2} + 108 x \cdot - 4 - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.12

Multipliez $- 4$ par $108$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 216 x^{2} - 432 x - 264 (2 x) - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.13

Multipliez $2$ par $- 264$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 216 x^{2} - 432 x - 528 x - 264 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.11.14

Multipliez $- 264$ par $- 4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 36 x^{3} - 72 x^{2} + 216 x^{2} - 432 x - 528 x + 1056)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.12

Additionnez $12 x^{3}$ et $36 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 48 x^{3} - 72 x^{2} + 216 x^{2} - 432 x - 528 x + 1056)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.13

Additionnez $- 72 x^{2}$ et $216 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 48 x^{3} + 144 x^{2} - 432 x - 528 x + 1056)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.14

Soustrayez $528 x$ de $- 432 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4} + 48 x^{3} + 144 x^{2} - 960 x + 1056)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 4 (- 6 x^{4}) + 4 (48 x^{3}) + 4 (144 x^{2}) + 4 (- 960 x) + 4 \cdot 1056}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.16

Simplifiez

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Étape 4.14.3.1.16.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 - 24 x^{4} + 4 (48 x^{3}) + 4 (144 x^{2}) + 4 (- 960 x) + 4 \cdot 1056}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.16.2

Multipliez $48$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 - 24 x^{4} + 192 x^{3} + 4 (144 x^{2}) + 4 (- 960 x) + 4 \cdot 1056}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.16.3

Multipliez $144$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 - 24 x^{4} + 192 x^{3} + 576 x^{2} + 4 (- 960 x) + 4 \cdot 1056}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.16.4

Multipliez $- 960$ par $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 - 24 x^{4} + 192 x^{3} + 576 x^{2} - 3840 x + 4 \cdot 1056}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.1.16.5

Multipliez $4$ par $1056$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 - 24 x^{4} + 192 x^{3} + 576 x^{2} - 3840 x + 4224}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.2

Soustrayez $24 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} - 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 192 x^{3} + 576 x^{2} - 3840 x + 4224}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.3

Additionnez $- 96 x^{3}$ et $192 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} + 96 x^{3} + 288 x^{2} - 384 x - 2880 + 576 x^{2} - 3840 x + 4224}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.4

Additionnez $288 x^{2}$ et $576 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} + 96 x^{3} + 864 x^{2} - 384 x - 2880 - 3840 x + 4224}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.5

Soustrayez $3840 x$ de $- 384 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} + 96 x^{3} + 864 x^{2} - 4224 x - 2880 + 4224}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.3.6

Additionnez $- 2880$ et $4224$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 12 x^{4} + 96 x^{3} + 864 x^{2} - 4224 x + 1344}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{4} + 96 x^{3} + 864 x^{2} - 4224 x + 1344$ .

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Étape 4.14.4.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 96 x^{3} + 864 x^{2} - 4224 x + 1344}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.2

Factorisez $12$ à partir de $96 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 12 (8 x^{3}) + 864 x^{2} - 4224 x + 1344}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.3

Factorisez $12$ à partir de $864 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 12 (8 x^{3}) + 12 (72 x^{2}) - 4224 x + 1344}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.4

Factorisez $12$ à partir de $- 4224 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 12 (8 x^{3}) + 12 (72 x^{2}) + 12 (- 352 x) + 1344}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.5

Factorisez $12$ à partir de $1344$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4}) + 12 (8 x^{3}) + 12 (72 x^{2}) + 12 (- 352 x) + 12 (112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{4}) + 12 (8 x^{3})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4} + 8 x^{3}) + 12 (72 x^{2}) + 12 (- 352 x) + 12 (112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{4} + 8 x^{3}) + 12 (72 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4} + 8 x^{3} + 72 x^{2}) + 12 (- 352 x) + 12 (112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.8

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{4} + 8 x^{3} + 72 x^{2}) + 12 (- 352 x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4} + 8 x^{3} + 72 x^{2} - 352 x) + 12 (112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.4.9

Factorisez $12$ à partir de $12 (- x^{4} + 8 x^{3} + 72 x^{2} - 352 x) + 12 (112)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- x^{4} + 8 x^{3} + 72 x^{2} - 352 x + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4}) + 8 x^{3} + 72 x^{2} - 352 x + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.6

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x^{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4}) - (- 8 x^{3}) + 72 x^{2} - 352 x + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (- 8 x^{3})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3}) + 72 x^{2} - 352 x + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.8

Factorisez $- 1$ à partir de $72 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3}) - (- 72 x^{2}) - 352 x + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 8 x^{3}) - (- 72 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2}) - 352 x + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 352 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2}) - (352 x) + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2}) - (352 x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x) + 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.12

Réécrivez $112$ comme $- 1 (- 112)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x) - 1 \cdot - 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x) - 1 (- 112)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.14

Réécrivez $- (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112)$ comme $- 1 (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112)$ .

$f^{4} (x) = \frac{12 (- 1 (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 4.14.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{12 (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{12 (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$ .

$- \frac{12 (x^{4} - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 352 x - 112)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{4}}$