Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{x + 9}{x^{2} - 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 9$ et $g (x) = x^{2} - 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x + 9] - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [9]) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x^{2} - 2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 - (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2} - 2 - (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 - (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 2 - (x + 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 2 - (x + 9) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 - 2 (x + 9) x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 9) x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 9 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{x^{2} - 2 - 2 x^{2} - 18 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 2 - 18 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 18 x - 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 18 x - 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (18 x) - 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (18 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 18 x) - 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} + 18 x) - 1 (2)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 18 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} + 18 x + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.10

Réécrivez $- (x^{2} + 18 x + 2)$ comme $- 1 (x^{2} + 18 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 18 x + 2)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 18 x + 2] - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{({(x^{2} - 2)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 18 x + 2] - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 18 x + 2] - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 18 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.4

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.6

Multipliez $18$ par $1$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18 + 0) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.8

Additionnez $2 x + 18$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18) - (x^{2} + 18 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{2}]}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 2$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18) - (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18) - (x^{2} + 18 x + 2) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18) - (x^{2} + 18 x + 2) (2 (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) ((x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) ((x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{2} (2 x + 18)$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (2 x + 18)) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) ((x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $- 2 (x^{2} + 18 x + 2) ((x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (2 x + 18)) + (x^{2} - 2) (- 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (2 x + 18)) + (x^{2} - 2) (- 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{4}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{(x^{2} - 2) {(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x^{2} - 2) ((x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{(x^{2} - 2) {(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 2 (x^{2} + 18 x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 4 (x^{2} + 18 x + 2) x}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 4 (x^{2} + 18 x + 2) x}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + \frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 18 x + 2}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$ par $0$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 4 (x^{2} + 18 x + 2) x}{{(x^{2} - 2)}^{3}} + 0$

Étape 2.12.2

Additionnez $- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 4 (x^{2} + 18 x + 2) x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$ et $0$ .

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 4 (x^{2} + 18 x + 2) x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) + (- 4 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 2) x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(x^{2} - 2) (2 x + 18) - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.1

Développez $(x^{2} - 2) (2 x + 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 x + 18) - 2 (2 x + 18) - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x + 18) - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 18 - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.3

Déplacez $18$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 \cdot x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 18 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $18$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{2} x - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{1 + 2} - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{3} - 4 (18 x) x - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{3} - 4 (18 (x \cdot x)) - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{3} - 4 (18 x^{2}) - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.5

Multipliez $18$ par $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{3} - 72 x^{2} - 4 \cdot 2 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 4 x^{3} - 72 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 36 - 72 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.3

Soustrayez $72 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 54 x^{2} - 4 x - 36 - 8 x}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.3.4

Soustrayez $8 x$ de $- 4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 54 x^{2} - 12 x - 36}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} - 54 x^{2} - 12 x - 36$ .

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Étape 2.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 54 x^{2} - 12 x - 36}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 54 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 27 x^{2}) - 12 x - 36}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 27 x^{2}) + 2 (- 6 x) - 36}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4.4

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 27 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (- 27 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 27 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 (- 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 27 x^{2}) + 2 (- 6 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 27 x^{2} - 6 x) + 2 (- 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 27 x^{2} - 6 x) + 2 (- 18)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 27 x^{2} - 6 x - 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 27 x^{2} - 6 x - 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 27 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (27 x^{2}) - 6 x - 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (27 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 27 x^{2}) - 6 x - 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 27 x^{2}) - (6 x) - 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 27 x^{2}) - (6 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x) - 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.10

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x) - 1 (18))}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x) - 1 (18)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18))}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.12

Réécrivez $- (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)$ comme $- 1 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18))}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 2.13.15

Multipliez $\frac{2 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18)}{{(x^{2} - 2)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18}{{(x^{2} - 2)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18}{{(x^{2} - 2)}^{3}}]$

Étape 3.2

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18] - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{({(x^{2} - 2)}^{3})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18] - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18] - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.4

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x^{2}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6 + \frac{d}{d x} [18]) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.10

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6 + 0) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.3.11

Additionnez $3 x^{2} + 54 x + 6$ et $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{3}]}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 2$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6) - (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (3 {(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) ({(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.5.2

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) ({(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{3} (3 x^{2} + 54 x + 6)$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6)) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) ({(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ à partir de $- 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) ({(x^{2} - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6)) + {(x^{2} - 2)}^{2} (- 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{2} ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6)) + {(x^{2} - 2)}^{2} (- 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{6}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{6}$ .

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{2} {(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(x^{2} - 2)}^{2} ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{2} {(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 3 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$2 \frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 6 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) x}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.10.3

Associez $2$ et $\frac{(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 6 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) x}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$ .

$\frac{2 ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 6 (x^{3} + 27 x^{2} + 6 x + 18) x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) + (- 6 x^{3} - 6 (27 x^{2}) - 6 (6 x) - 6 \cdot 18) x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6) - 6 x^{3} x - 6 (27 x^{2}) x - 6 (6 x) x - 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6)) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1.1

Développez $(x^{2} - 2) (3 x^{2} + 54 x + 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (54 x) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.4.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} (54 x) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (54 x) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 x^{2 + 2} + x^{2} (54 x) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + x^{2} (54 x) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{2} x + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.11.4.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} + x^{2} \cdot 6 - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.5

Déplacez $6$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} + 6 \cdot x^{2} - 2 (3 x^{2}) - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 (54 x) - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.7

Multipliez $54$ par $- 2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 108 x - 2 \cdot 6) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.2.8

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 108 x - 12) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{4} + 54 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 108 x - 12$ .

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Étape 3.11.4.1.3.1

Soustrayez $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} + 0 - 108 x - 12) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.3.2

Additionnez $3 x^{4} + 54 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{2 (3 x^{4} + 54 x^{3} - 108 x - 12) + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x^{4}) + 2 (54 x^{3}) + 2 (- 108 x) + 2 \cdot - 12 + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.5

Simplifiez

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Étape 3.11.4.1.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 2 (54 x^{3}) + 2 (- 108 x) + 2 \cdot - 12 + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.5.2

Multipliez $54$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} + 2 (- 108 x) + 2 \cdot - 12 + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.5.3

Multipliez $- 108$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x + 2 \cdot - 12 + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.5.4

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 + 2 (- 6 x^{3} x) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 + 2 (- 6 (x \cdot x^{3})) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.11.4.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 + 2 (- 6 (x^{1} x^{3})) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 + 2 (- 6 x^{1 + 3}) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 + 2 (- 6 x^{4}) + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.7

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} + 2 (- 6 (27 x^{2}) x) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} + 2 (- 6 (27 (x \cdot x^{2}))) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.11.4.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} + 2 (- 6 (27 (x^{1} x^{2}))) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} + 2 (- 6 (27 x^{1 + 2})) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} + 2 (- 6 (27 x^{3})) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.9

Multipliez $27$ par $- 6$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} + 2 (- 162 x^{3}) + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.10

Multipliez $- 162$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} + 2 (- 6 (6 x) x) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.11

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1.11.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} + 2 (- 6 (6 (x \cdot x))) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.11.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} + 2 (- 6 (6 x^{2})) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.12

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} + 2 (- 36 x^{2}) + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.13

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} - 72 x^{2} + 2 (- 6 \cdot 18 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.14

Multipliez $- 6$ par $18$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} - 72 x^{2} + 2 (- 108 x)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.1.15

Multipliez $- 108$ par $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 12 x^{4} - 324 x^{3} - 72 x^{2} - 216 x}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.2

Soustrayez $12 x^{4}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 108 x^{3} - 216 x - 24 - 324 x^{3} - 72 x^{2} - 216 x}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.3

Soustrayez $324 x^{3}$ de $108 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{4} - 216 x^{3} - 216 x - 24 - 72 x^{2} - 216 x}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.4.4

Soustrayez $216 x$ de $- 216 x$ .

$\frac{- 6 x^{4} - 216 x^{3} - 432 x - 24 - 72 x^{2}}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 x^{4} - 216 x^{3} - 72 x^{2} - 432 x - 24}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{4} - 216 x^{3} - 72 x^{2} - 432 x - 24$ .

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Étape 3.11.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{4}$ .

$\frac{6 (- x^{4}) - 216 x^{3} - 72 x^{2} - 432 x - 24}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.2

Factorisez $6$ à partir de $- 216 x^{3}$ .

$\frac{6 (- x^{4}) + 6 (- 36 x^{3}) - 72 x^{2} - 432 x - 24}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.3

Factorisez $6$ à partir de $- 72 x^{2}$ .

$\frac{6 (- x^{4}) + 6 (- 36 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) - 432 x - 24}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.4

Factorisez $6$ à partir de $- 432 x$ .

$\frac{6 (- x^{4}) + 6 (- 36 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) + 6 (- 72 x) - 24}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.5

Factorisez $6$ à partir de $- 24$ .

$\frac{6 (- x^{4}) + 6 (- 36 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) + 6 (- 72 x) + 6 (- 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.6

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{4}) + 6 (- 36 x^{3})$ .

$\frac{6 (- x^{4} - 36 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2}) + 6 (- 72 x) + 6 (- 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.7

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{4} - 36 x^{3}) + 6 (- 12 x^{2})$ .

$\frac{6 (- x^{4} - 36 x^{3} - 12 x^{2}) + 6 (- 72 x) + 6 (- 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.8

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{4} - 36 x^{3} - 12 x^{2}) + 6 (- 72 x)$ .

$\frac{6 (- x^{4} - 36 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x) + 6 (- 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.6.9

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{4} - 36 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x) + 6 (- 4)$ .

$\frac{6 (- x^{4} - 36 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{6 (- (x^{4}) - 36 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 36 x^{3}$ .

$\frac{6 (- (x^{4}) - (36 x^{3}) - 12 x^{2} - 72 x - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (36 x^{3})$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3}) - 12 x^{2} - 72 x - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3}) - (12 x^{2}) - 72 x - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} + 36 x^{3}) - (12 x^{2})$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2}) - 72 x - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 72 x$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2}) - (72 x) - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2}) - (72 x)$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x) - 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.14

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x) - 1 (4))}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x) - 1 (4)$ .

$\frac{6 (- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4))}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.16

Réécrivez $- (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4)$ comme $- 1 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4)$ .

$\frac{6 (- 1 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4))}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3.11.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{6 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4)}{{(x^{2} - 2)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4}{{(x^{2} - 2)}^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4}{{(x^{2} - 2)}^{4}}]$

Étape 4.2

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4] - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{({(x^{2} - 2)}^{4})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2)}^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4] - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{4 \cdot 2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4] - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.4

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{3}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.6

Multipliez $3$ par $36$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.9

Multipliez $2$ par $12$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.10

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 x$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.12

Multipliez $72$ par $1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.13

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72 + 0) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.3.14

Additionnez $4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72$ et $0$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{4}]}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 2$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (4 {(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) ({(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.5.2

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) ({(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$ .

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Étape 4.5.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{4} (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72)$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72)) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) ({(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.5.2.2

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{3}$ à partir de $- 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) ({(x^{2} - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2])$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72)) + {(x^{2} - 2)}^{3} (- 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.5.2.3

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{3} ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72)) + {(x^{2} - 2)}^{3} (- 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{8}}$

Étape 4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.1

Factorisez ${(x^{2} - 2)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} - 2)}^{8}$ .

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{3} {(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 \frac{{(x^{2} - 2)}^{3} ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]))}{{(x^{2} - 2)}^{3} {(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 \frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 2])}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 6 \frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 \frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 \frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.10

Associez les fractions.

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Étape 4.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 6 \frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 4 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.10.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 6 \frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 8 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.10.3

Associez $- 6$ et $\frac{(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 8 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$ .

$\frac{- 6 ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 8 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 8 (x^{4} + 36 x^{3} + 12 x^{2} + 72 x + 4) x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11

Simplifiez

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Étape 4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) + (- 8 x^{4} - 8 (36 x^{3}) - 8 (12 x^{2}) - 8 (72 x) - 8 \cdot 4) x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72) - 8 x^{4} x - 8 (36 x^{3}) x - 8 (12 x^{2}) x - 8 (72 x) x - 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 ((x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.11.4.1.1

Développez $(x^{2} - 2) (4 x^{3} + 108 x^{2} + 24 x + 72)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (108 x^{2}) + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.11.4.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{6 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (108 x^{2}) + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.4.1.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{6 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (108 x^{2}) + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (108 x^{2}) + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + x^{2} (108 x^{2}) + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{2} x^{2} + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.4.1.2.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{2 + 2} + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + x^{2} (24 x) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{2} x + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.4.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.11.4.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{3} + x^{2} \cdot 72 - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.7

Déplacez $72$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{3} + 72 \cdot x^{2} - 2 (4 x^{3}) - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.8

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{3} + 72 x^{2} - 8 x^{3} - 2 (108 x^{2}) - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.9

Multipliez $108$ par $- 2$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{3} + 72 x^{2} - 8 x^{3} - 216 x^{2} - 2 (24 x) - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.10

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{3} + 72 x^{2} - 8 x^{3} - 216 x^{2} - 48 x - 2 \cdot 72) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.2.11

Multipliez $- 2$ par $72$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 24 x^{3} + 72 x^{2} - 8 x^{3} - 216 x^{2} - 48 x - 144) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.3

Soustrayez $8 x^{3}$ de $24 x^{3}$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 16 x^{3} + 72 x^{2} - 216 x^{2} - 48 x - 144) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.4

Soustrayez $216 x^{2}$ de $72 x^{2}$ .

$- \frac{6 (4 x^{5} + 108 x^{4} + 16 x^{3} - 144 x^{2} - 48 x - 144) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 (4 x^{5}) + 6 (108 x^{4}) + 6 (16 x^{3}) + 6 (- 144 x^{2}) + 6 (- 48 x) + 6 \cdot - 144 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.11.4.1.6.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 6 (108 x^{4}) + 6 (16 x^{3}) + 6 (- 144 x^{2}) + 6 (- 48 x) + 6 \cdot - 144 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.6.2

Multipliez $108$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 6 (16 x^{3}) + 6 (- 144 x^{2}) + 6 (- 48 x) + 6 \cdot - 144 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.6.3

Multipliez $16$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} + 6 (- 144 x^{2}) + 6 (- 48 x) + 6 \cdot - 144 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.6.4

Multipliez $- 144$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} + 6 (- 48 x) + 6 \cdot - 144 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.6.5

Multipliez $- 48$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x + 6 \cdot - 144 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.6.6

Multipliez $6$ par $- 144$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.4.1.7.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 4.11.4.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 + 6 (- 8 (x^{1} x^{4})) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 + 6 (- 8 x^{1 + 4}) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.7.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 + 6 (- 8 x^{5}) + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.8

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} + 6 (- 8 (36 x^{3}) x) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.9

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.4.1.9.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} + 6 (- 8 (36 (x \cdot x^{3}))) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.9.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.11.4.1.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} + 6 (- 8 (36 (x^{1} x^{3}))) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} + 6 (- 8 (36 x^{1 + 3})) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.9.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} + 6 (- 8 (36 x^{4})) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.10

Multipliez $36$ par $- 8$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} + 6 (- 288 x^{4}) + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.11

Multipliez $- 288$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} + 6 (- 8 (12 x^{2}) x) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.12

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.4.1.12.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} + 6 (- 8 (12 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.12.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.11.4.1.12.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} + 6 (- 8 (12 (x^{1} x^{2}))) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} + 6 (- 8 (12 x^{1 + 2})) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} + 6 (- 8 (12 x^{3})) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.13

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} + 6 (- 96 x^{3}) + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.14

Multipliez $- 96$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} + 6 (- 8 (72 x) x) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.15

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.11.4.1.15.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} + 6 (- 8 (72 (x \cdot x))) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.15.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} + 6 (- 8 (72 x^{2})) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.16

Multipliez $72$ par $- 8$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} + 6 (- 576 x^{2}) + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.17

Multipliez $- 576$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} - 3456 x^{2} + 6 (- 8 \cdot 4 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.18

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} - 3456 x^{2} + 6 (- 32 x)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.1.19

Multipliez $- 32$ par $6$ .

$- \frac{24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 48 x^{5} - 1728 x^{4} - 576 x^{3} - 3456 x^{2} - 192 x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.2

Soustrayez $48 x^{5}$ de $24 x^{5}$ .

$- \frac{- 24 x^{5} + 648 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 1728 x^{4} - 576 x^{3} - 3456 x^{2} - 192 x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.3

Soustrayez $1728 x^{4}$ de $648 x^{4}$ .

$- \frac{- 24 x^{5} - 1080 x^{4} + 96 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 576 x^{3} - 3456 x^{2} - 192 x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.4

Soustrayez $576 x^{3}$ de $96 x^{3}$ .

$- \frac{- 24 x^{5} - 1080 x^{4} - 480 x^{3} - 864 x^{2} - 288 x - 864 - 3456 x^{2} - 192 x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.5

Soustrayez $3456 x^{2}$ de $- 864 x^{2}$ .

$- \frac{- 24 x^{5} - 1080 x^{4} - 480 x^{3} - 4320 x^{2} - 288 x - 864 - 192 x}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.4.6

Soustrayez $192 x$ de $- 288 x$ .

$- \frac{- 24 x^{5} - 1080 x^{4} - 480 x^{3} - 4320 x^{2} - 480 x - 864}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5

Factorisez $24$ à partir de $- 24 x^{5} - 1080 x^{4} - 480 x^{3} - 4320 x^{2} - 480 x - 864$ .

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Étape 4.11.5.1

Factorisez $24$ à partir de $- 24 x^{5}$ .

$- \frac{24 (- x^{5}) - 1080 x^{4} - 480 x^{3} - 4320 x^{2} - 480 x - 864}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.2

Factorisez $24$ à partir de $- 1080 x^{4}$ .

$- \frac{24 (- x^{5}) + 24 (- 45 x^{4}) - 480 x^{3} - 4320 x^{2} - 480 x - 864}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.3

Factorisez $24$ à partir de $- 480 x^{3}$ .

$- \frac{24 (- x^{5}) + 24 (- 45 x^{4}) + 24 (- 20 x^{3}) - 4320 x^{2} - 480 x - 864}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.4

Factorisez $24$ à partir de $- 4320 x^{2}$ .

$- \frac{24 (- x^{5}) + 24 (- 45 x^{4}) + 24 (- 20 x^{3}) + 24 (- 180 x^{2}) - 480 x - 864}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.5

Factorisez $24$ à partir de $- 480 x$ .

$- \frac{24 (- x^{5}) + 24 (- 45 x^{4}) + 24 (- 20 x^{3}) + 24 (- 180 x^{2}) + 24 (- 20 x) - 864}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.6

Factorisez $24$ à partir de $- 864$ .

$- \frac{24 (- x^{5}) + 24 (- 45 x^{4}) + 24 (- 20 x^{3}) + 24 (- 180 x^{2}) + 24 (- 20 x) + 24 (- 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.7

Factorisez $24$ à partir de $24 (- x^{5}) + 24 (- 45 x^{4})$ .

$- \frac{24 (- x^{5} - 45 x^{4}) + 24 (- 20 x^{3}) + 24 (- 180 x^{2}) + 24 (- 20 x) + 24 (- 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.8

Factorisez $24$ à partir de $24 (- x^{5} - 45 x^{4}) + 24 (- 20 x^{3})$ .

$- \frac{24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3}) + 24 (- 180 x^{2}) + 24 (- 20 x) + 24 (- 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.9

Factorisez $24$ à partir de $24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3}) + 24 (- 180 x^{2})$ .

$- \frac{24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3} - 180 x^{2}) + 24 (- 20 x) + 24 (- 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.10

Factorisez $24$ à partir de $24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3} - 180 x^{2}) + 24 (- 20 x)$ .

$- \frac{24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3} - 180 x^{2} - 20 x) + 24 (- 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.5.11

Factorisez $24$ à partir de $24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3} - 180 x^{2} - 20 x) + 24 (- 36)$ .

$- \frac{24 (- x^{5} - 45 x^{4} - 20 x^{3} - 180 x^{2} - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{5}$ .

$- \frac{24 (- (x^{5}) - 45 x^{4} - 20 x^{3} - 180 x^{2} - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 45 x^{4}$ .

$- \frac{24 (- (x^{5}) - (45 x^{4}) - 20 x^{3} - 180 x^{2} - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{5}) - (45 x^{4})$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4}) - 20 x^{3} - 180 x^{2} - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4}) - (20 x^{3}) - 180 x^{2} - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{5} + 45 x^{4}) - (20 x^{3})$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3}) - 180 x^{2} - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 180 x^{2}$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3}) - (180 x^{2}) - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3}) - (180 x^{2})$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2}) - 20 x - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20 x$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2}) - (20 x) - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2}) - (20 x)$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x) - 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.15

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x) - 1 (36))}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x) - 1 (36)$ .

$- \frac{24 (- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36))}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.17

Réécrivez $- (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)$ comme $- 1 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)$ .

$- \frac{24 (- 1 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36))}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{24 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{24 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 4.11.20

Multipliez $\frac{24 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{24 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{24 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$ .

$\frac{24 (x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} + 180 x^{2} + 20 x + 36)}{{(x^{2} - 2)}^{5}}$