Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[10]{4 x + 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[10]{4 x + 5}$ comme ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{10}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{10}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{10}}$ et $g (x) = 4 x + 5$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{1}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 5$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $10$ de $1$ .

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 9}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{10}$ et ${(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}$ .

$\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.7.3

Placez ${(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} (4 + 0)$

Étape 1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.13.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}} \cdot 4$

Étape 1.13.2

Associez $\frac{1}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$ et $4$ .

$\frac{4}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$

Étape 1.13.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$

Étape 1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $10 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}$ .

$\frac{2 (2)}{2 (5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}$

Étape 1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}$

Étape 1.14.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{5 {(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}}}$ comme ${({(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{({(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x + 5)}^{\frac{9}{10}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{9}{10} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{10} \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{9}{10}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{9 \cdot - 1}{10}}]$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{- 9}{10}}]$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{9}{10}}$ et $g (x) = 4 x + 5$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{9}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{9}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} u^{- \frac{9}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 9 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 9 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $10$ de $- 9$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 19}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.8

Associez ${(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}$ et $\frac{9}{10}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}} \cdot 9}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Déplacez $9$ à gauche de ${(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9 \cdot {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.9.2

Placez ${(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{9}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{9}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ .

$- \frac{2 \cdot 9}{5 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.11

Multipliez.

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Étape 2.11.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{18}{5 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.11.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$- \frac{18}{50 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.12

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$- \frac{2 (9)}{50 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $50 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}$ .

$- \frac{2 (9)}{2 (25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 9}{2 (25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 2.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.15

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.17

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 2.18

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} (4 + 0)$

Étape 2.19

Associez les fractions.

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Étape 2.19.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}} \cdot 4$

Étape 2.19.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Étape 2.19.3

Associez $- 4$ et $\frac{9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Étape 2.19.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.19.4.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{- 36}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Étape 2.19.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{36}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $- \frac{36}{25}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{36}{25 {(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}]$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}]$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}}}$ comme ${({(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})}^{- 1}$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{({(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x + 5)}^{\frac{19}{10}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{19}{10} \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{19}{10} \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.2.2.1

Associez $\frac{19}{10}$ et $- 1$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{19 \cdot - 1}{10}}]$

Étape 3.1.2.2.2.2

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{- 19}{10}}]$

Étape 3.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{36}{25} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{19}{10}}$ et $g (x) = 4 x + 5$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 5$ .

$- \frac{36}{25} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{19}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{19}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} u^{- \frac{19}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 5$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{19}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 19 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 19 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.6.2

Soustrayez $10$ de $- 19$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 29}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.8

Associez ${(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}$ et $\frac{19}{10}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}} \cdot 19}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Déplacez $19$ à gauche de ${(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19 \cdot {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.9.2

Placez ${(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{36}{25} (- \frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{36}{25}) (\frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.9.4

Multipliez $\frac{36}{25}$ par $1$ .

$\frac{36}{25} (\frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{19}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ par $\frac{36}{25}$ .

$\frac{19 \cdot 36}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}} \cdot 25} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.11

Multipliez.

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Étape 3.11.1

Multipliez $19$ par $36$ .

$\frac{684}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}} \cdot 25} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.11.2

Multipliez $25$ par $10$ .

$\frac{684}{250 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.12

Factorisez $2$ à partir de $684$ .

$\frac{2 (342)}{250 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $250 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}$ .

$\frac{2 (342)}{2 (125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 342}{2 (125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.15

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.17

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.18

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} (4 + 0)$

Étape 3.19

Associez les fractions.

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Étape 3.19.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}} \cdot 4$

Étape 3.19.2

Associez $\frac{342}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ et $4$ .

$\frac{342 \cdot 4}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$

Étape 3.19.3

Multipliez $342$ par $4$ .

$f''' (x) = \frac{1368}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $\frac{1368}{125}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1368}{125 {(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}]$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}}}$ comme ${({(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{({(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x + 5)}^{\frac{29}{10}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{29}{10} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{29}{10} \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Associez $\frac{29}{10}$ et $- 1$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{29 \cdot - 1}{10}}]$

Étape 4.1.2.2.2.2

Multipliez $29$ par $- 1$ .

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{- 29}{10}}]$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1368}{125} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{29}{10}}$ et $g (x) = 4 x + 5$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 5$ .

$\frac{1368}{125} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{29}{10}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{29}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} u^{- \frac{29}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 5$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{29}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 29 - 1 \cdot 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 29 - 10}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $10$ de $- 29$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{\frac{- 39}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10} {(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.8

Associez ${(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}$ et $\frac{29}{10}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}} \cdot 29}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.1

Déplacez $29$ à gauche de ${(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29 \cdot {(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}}{10} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.9.2

Placez ${(4 x + 5)}^{- \frac{39}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1368}{125} (- \frac{29}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5])$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{1368}{125}$ par $\frac{29}{10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$ .

$- \frac{1368 \cdot 29}{125 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.11

Multipliez.

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Étape 4.11.1

Multipliez $1368$ par $29$ .

$- \frac{39672}{125 (10 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.11.2

Multipliez $10$ par $125$ .

$- \frac{39672}{1250 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.12

Factorisez $2$ à partir de $39672$ .

$- \frac{2 (19836)}{1250 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $1250 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}$ .

$- \frac{2 (19836)}{2 (625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 19836}{2 (625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}})} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Étape 4.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.15

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.17

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.18

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} (4 + 0)$

Étape 4.19

Associez les fractions.

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Étape 4.19.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}} \cdot 4$

Étape 4.19.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$

Étape 4.19.3

Associez $- 4$ et $\frac{19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 19836}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$

Étape 4.19.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.19.4.1

Multipliez $- 4$ par $19836$ .

$\frac{- 79344}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$

Étape 4.19.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{79344}{625 {(4 x + 5)}^{\frac{39}{10}}}$