Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Étape 1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Étape 1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 (- \sin (x))$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 \cos (2 x) + 2 \sin (x)$