Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\sin (x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réorganisez les facteurs de $\csc (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \csc (x)$

Étape 1.4.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.4.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.4.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$f' (x) = \cot (x)$

Étape 2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Étape 3.6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Étape 3.7

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc^{2} (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.4

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.5.2

Réécrivez $- 1 \csc^{4} (x)$ comme $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 4.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 4.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Étape 4.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 4.8

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 4.10

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Étape 4.11

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Étape 4.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Étape 4.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Étape 4.14

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Étape 4.15

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Étape 4.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Étape 4.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 4.18

Simplifiez

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Étape 4.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 4.18.2

Associez des termes.

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Étape 4.18.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 4.18.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 4.18.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$