Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{5} {(3 x - 4)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(3 x - 4)}^{2}$ comme $(3 x - 4) (3 x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} ((3 x - 4) (3 x - 4))]$

Étape 1.2

Développez $(3 x - 4) (3 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (3 x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x - 4))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (9 x^{2} - 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (9 x^{2} - 12 x - 12 x - 4 \cdot - 4)]$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5} (9 x^{2} - 24 x + 16)]$

Étape 1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5} (9 x^{2} - 24 x + 16)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5} (9 x^{2} - 24 x + 16)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5} (9 x^{2} - 24 x + 16)]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 9 x^{2} - 24 x + 16$ .

$3 (x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 24 x + 16] + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6

Différenciez.

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Étape 1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 24 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$3 (x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x^{5} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$3 (x^{5} (18 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.5

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.7

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24 + \frac{d}{d x} [16]) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.8

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24 + 0) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.9

Additionnez $18 x - 24$ et $0$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24) + (9 x^{2} - 24 x + 16) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 1.6.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24) + (9 x^{2} - 24 x + 16) (5 x^{4}))$

Étape 1.6.11

Déplacez $5$ à gauche de $9 x^{2} - 24 x + 16$ .

$3 (x^{5} (18 x - 24) + 5 \cdot (9 x^{2} - 24 x + 16) x^{4})$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{5} (18 x) + x^{5} \cdot - 24 + 5 (9 x^{2} - 24 x + 16) x^{4})$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{5} (18 x) + x^{5} \cdot - 24 + (5 (9 x^{2}) + 5 (- 24 x) + 5 \cdot 16) x^{4})$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{5} (18 x) + x^{5} \cdot - 24 + 5 (9 x^{2}) x^{4} + 5 (- 24 x) x^{4} + 5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{5} (18 x)) + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5

Associez des termes.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.5.1.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x^{5} \cdot 18) + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 1.7.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{1} x^{5} \cdot 18) + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (x^{1 + 5} \cdot 18) + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.1.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$3 (x^{6} \cdot 18) + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.2

Déplacez $18$ à gauche de $x^{6}$ .

$3 (18 \cdot x^{6}) + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.3

Multipliez $18$ par $3$ .

$54 x^{6} + 3 (x^{5} \cdot - 24) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.4

Déplacez $- 24$ à gauche de $x^{5}$ .

$54 x^{6} + 3 (- 24 \cdot x^{5}) + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.5

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 3 (5 (9 x^{2}) x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.6

Multipliez $9$ par $5$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 3 (45 x^{2} x^{4}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.5.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 3 (45 (x^{4} x^{2})) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 3 (45 x^{4 + 2}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.7.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 3 (45 x^{6}) + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.8

Multipliez $45$ par $3$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} + 3 (5 (- 24 x) x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.9

Multipliez $- 24$ par $5$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} + 3 (- 120 x \cdot x^{4}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.10

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.5.10.1

Déplacez $x^{4}$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} + 3 (- 120 (x^{4} x)) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.10.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 1.7.5.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} + 3 (- 120 (x^{4} x^{1})) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} + 3 (- 120 x^{4 + 1}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.10.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} + 3 (- 120 x^{5}) + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.11

Multipliez $- 120$ par $3$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} - 360 x^{5} + 3 (5 \cdot 16 x^{4})$

Étape 1.7.5.12

Multipliez $5$ par $16$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} - 360 x^{5} + 3 (80 x^{4})$

Étape 1.7.5.13

Multipliez $80$ par $3$ .

$54 x^{6} - 72 x^{5} + 135 x^{6} - 360 x^{5} + 240 x^{4}$

Étape 1.7.5.14

Additionnez $54 x^{6}$ et $135 x^{6}$ .

$189 x^{6} - 72 x^{5} - 360 x^{5} + 240 x^{4}$

Étape 1.7.5.15

Soustrayez $360 x^{5}$ de $- 72 x^{5}$ .

$f' (x) = 189 x^{6} - 432 x^{5} + 240 x^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $189 x^{6} - 432 x^{5} + 240 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [189 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 432 x^{5}] + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [189 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 432 x^{5}] + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [189 x^{6}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $189$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $189 x^{6}$ par rapport à $x$ est $189 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$189 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 432 x^{5}] + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$189 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 432 x^{5}] + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $6$ par $189$ .

$1134 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 432 x^{5}] + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 432 x^{5}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 432$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 432 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 432 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$1134 x^{5} - 432 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$1134 x^{5} - 432 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $- 432$ .

$1134 x^{5} - 2160 x^{4} + \frac{d}{d x} [240 x^{4}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [240 x^{4}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $240 x^{4}$ par rapport à $x$ est $240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1134 x^{5} - 2160 x^{4} + 240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$1134 x^{5} - 2160 x^{4} + 240 (4 x^{3})$

Étape 2.4.3

Multipliez $4$ par $240$ .

$f'' (x) = 1134 x^{5} - 2160 x^{4} + 960 x^{3}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1134 x^{5} - 2160 x^{4} + 960 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1134 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2160 x^{4}] + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1134 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2160 x^{4}] + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [1134 x^{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $1134$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1134 x^{5}$ par rapport à $x$ est $1134 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$1134 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2160 x^{4}] + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$1134 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2160 x^{4}] + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $5$ par $1134$ .

$5670 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2160 x^{4}] + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2160 x^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 2160$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2160 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2160 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5670 x^{4} - 2160 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5670 x^{4} - 2160 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $- 2160$ .

$5670 x^{4} - 8640 x^{3} + \frac{d}{d x} [960 x^{3}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [960 x^{3}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $960$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $960 x^{3}$ par rapport à $x$ est $960 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5670 x^{4} - 8640 x^{3} + 960 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5670 x^{4} - 8640 x^{3} + 960 (3 x^{2})$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $960$ .

$f''' (x) = 5670 x^{4} - 8640 x^{3} + 2880 x^{2}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5670 x^{4} - 8640 x^{3} + 2880 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5670 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8640 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5670 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8640 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5670 x^{4}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $5670$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5670 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5670 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5670 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8640 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5670 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8640 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.2.3

Multipliez $4$ par $5670$ .

$22680 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8640 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8640 x^{3}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 8640$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8640 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8640 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$22680 x^{3} - 8640 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$22680 x^{3} - 8640 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.3.3

Multipliez $3$ par $- 8640$ .

$22680 x^{3} - 25920 x^{2} + \frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2880 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Comme $2880$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2880 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2880 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$22680 x^{3} - 25920 x^{2} + 2880 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$22680 x^{3} - 25920 x^{2} + 2880 (2 x)$

Étape 4.4.3

Multipliez $2$ par $2880$ .

$f^{4} (x) = 22680 x^{3} - 25920 x^{2} + 5760 x$