Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 4 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Étape 1.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 6 + 12 \sin (3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + 12 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$

Étape 2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$0 + 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) \cdot 3)$

Étape 2.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$0 + 12 (3 \cdot \cos (3 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $12$ .

$0 + 36 \cos (3 x)$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $36 \cos (3 x)$ .

$f'' (x) = 36 \cos (3 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$36 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$36 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$36 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$- 36 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $- 36$ .

$- 108 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 108 \sin (3 x) \cdot 1$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 108$ par $1$ .

$f''' (x) = - 108 \sin (3 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 108$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 108 \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $- 108 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- 108 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$- 108 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 108 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$- 108 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 108 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2

Multipliez $3$ par $- 108$ .

$- 324 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 324 \cos (3 x) \cdot 1$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 324$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - 324 \cos (3 x)$